Centrale Mathématiques 2 TSI 2022

Si avec désigne l＇ensemble des entiers relatifs compris entre et ．
Si est un nombre complexe， désigne son conjugué et son module．
Dans tout le problème， désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 et on note ．
désigne l＇ensemble des matrices carrées de taille à coefficients dans ou et désigne la matrice identité d＇ordre ．
Si est une matrice de ，la matrice désigne la matrice dont les coefficients sont les conjugués de ceux de ．
On note l＇espace vectoriel des fonctions définies sur et à valeurs dans périodiques et continues sur ．

Pour toute fonction appartenant à ，les coefficients de Fourier trigonométriques de sont définis par

et，pour tout entier dans ，

Ce problème est composé de cinq parties largement indépendantes．
La première partie consiste à établir quelques calculs utiles dans tout le problème et à étudier le comportement asymptotique des coefficients de Fourier d＇une fonction de supposée de classe ．La partie II traite de questions d＇algèbre linéaire；le résultat de l＇une d＇elles pourra être utilisé dans la partie III．La partie III s＇intéresse à l＇échantillonnage d＇un signal continu et à une application，appelée transformation de Fourier discrète， qui permet le traitement d＇un signal numérique à partir d＇un échantillon．La partie IV est consacrée à l＇étude d＇un algorithme rapide de calcul d＇une transformée de Fourier discrète et au calcul de sa complexité．Enfin， la partie V étudie un opérateur sur l＇ensemble des suites périodiques et fournit une application des résultats obtenus dans les parties précédentes．
L＇algorithme de transformée de Fourier rapide（Cooley et Tukey，1965）est，entre autres，à la base des techniques de compression numérique ayant conduit au format JPEG．

Q 1．Résoudre dans l＇équation ．On exprimera les solutions à l＇aide du nombre ．
Q 2．Déterminer l＇ensemble des entiers relatifs tels que ．
Q 3．Démontrer que，pour tout ．
Q 4．Soit un nombre complexe et un entier naturel supérieur ou égal à 1．Calculer ．On distinguera les cas et ．
Q 5．En déduire la valeur de ，dans les trois cas

À toute fonction , on associe la suite , à valeur dans , définie par et, ,

Q 6. Vérifier que

La suite s'appelle la suite des coefficients de Fourier exponentiels de la fonction . Cette notation est utilisée tout au long du problème.
Q 7. Question de cours : citer le théorème de Parseval pour une fonction .
Q 8. Pour tout entier naturel non nul, exprimer et en fonction de et et, en utilisant le théorème de Parseval, démontrer que .
Dans les trois questions suivantes, est une fonction périodique, de classe , à valeurs réelles.
Q 9. Pour tout entier naturel non nul, justifier l'existence de et .
Q 10. À l'aide d'intégrations par parties, démontrer que, pour tout entier naturel non nul,

En déduire que, pour tout .
Q 11. En déduire que et .

On rappelle que est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
Pour , on considère la matrice

On note .
Q 12. Montrer que est une matrice orthogonale de . Identifier géométriquement l'isométrie canoniquement associée à la matrice (on précisera ses éléments caractéristiques).
Q 13. Calculer le polynôme caractéristique de . Montrer que la matrice est diagonalisable dans . Est-elle diagonalisable dans ?
Q 14. Déterminer une matrice inversible dans et une matrice diagonale telles que .
Q 15. Pour tout exprimer à l'aide de et et en déduire que est diagonalisable dans .

On note et l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est .
Q 16. Montrer que le polynôme caractéristique de est .
Q 17. est-elle diagonalisable dans ? Justifier.

On note

la matrice de dont, pour tout couple , le coefficient situé à la ligne et à la colonne est égal à .
On rappelle que a été défini dans les notations par .
Pour , on note la -ième colonne de la matrice .
Q 18. Calculer le produit matriciel . Démontrer que est une valeur propre de et donner un vecteur propre associé.
Q 19. En déduire que la famille des vecteurs colonnes est libre, puis que la matrice est inversible.
Q 20. Calculer le produit matriciel et en déduire que .
Q 21. Pour tout , exprimer en fonction des vecteurs . On distinguera le cas .
Q 22. Pour tout et tout , exprimer en fonction des vecteurs . On distinguera les cas et .
Q 23. En déduire, pour tout , l'expression de comme une matrice particulière. (On rappelle que ).
Q 24. En exprimant comme combinaison linéaire de et en utilisant les questions précédentes, justifier que est diagonalisable dans . Donner sa réduite diagonale et une matrice de passage de la base canonique à une base de vecteurs propres.
Q 25. À l'aide du résultat précédent, calculer le déterminant de la matrice .

On appelle échantillon de taille un -uplet de .
Pour un signal continu variant dans le temps, l'échantillonnage consiste à prélever un nombre fini de valeurs de ce signal, à intervalles fixes, souvent réguliers.

Soit une fonction de .
Le -uplet est un échantillon de ce signal.
On pose et, pour tout ,

Afin d'alléger les notations, on notera respectivement et les coefficients de Fourier et .
Q 26. Justifier, en explicitant le théorème utilisé, que , et que, pour tout , et .
Q27. En déduire que, pour tout entier relatif .
De ce fait, pour de grandes valeurs de , on prendra le nombre comme une approximation du coefficient de Fourier .

Si est un échantillon de taille , on définit par

L'échantillon s'appelle la transformée de Fourier d'ordre de l'échantillon .
Q 28. Combien d'opérations (additions et multiplications entre nombres complexes) sont nécessaires pour calculer les termes de la transformée de Fourier , connaissant ceux de l'échantillon et les nombres ? Parmi les multiplications, on ne comptabilise pas celles dont l'un des facteurs est égal à 1 .
Q 29. Démontrer que

On pourra donner une écriture matricielle des égalités (III.1) et utiliser la question 20.
Les égalités (III.2), connues sous le nom de formule d'inversion de Fourier, permettent de reconstruire l'échantillon à partir de sa transformée de Fourier .
Q 30. Montrer que, pour tout .
On suppose dans la question suivante que l'entier naturel est pair.
Q 31. Combien suffit-il d'opérations (additions, multiplications entre nombres complexes et conjugaison d'un nombre complexe) pour calculer les termes de la transformée de Fourier , connaissant ceux de l'échantillon de taille et les nombres ?
Q 32. Donner un équivalent de ce nombre d'opérations lorsque tend vers .

La transformée de Fourier rapide est un algorithme dont l'objectif est d'améliorer le temps de calcul des termes de la transformée de Fourier , connaissant ceux de l'échantillon .
Dans cette partie, on suppose que est un échantillon dont la taille est une puissance de 2 ; on écrit donc .
On rappelle que .
Pour tout entier compris entre 0 et , on pose et ce qui définit deux échantillons et de taille .
Q 33. Montrer que .
Q 34. Montrer que,

On note le nombre d'opérations (additions, multiplications entre nombres complexes) nécessaires pour calculer selon cette méthode les termes de la transformée de Fourier d'ordre d'un échantillon de taille connaissant les termes de cet échantillon et les .
Q 35. Justifier que et démontrer que, pour tout entier supérieur ou égal à 2 ,

Q 36. Démontrer que

On pourra utiliser la suite auxiliaire , définie par .
Q 37. Expliquer pourquoi cette méthode est qualifiée de transformée de Fourier «rapide».

Étant donné un échantillon , on appelle suite périodisée, indexée par , de germe , la suite vérifiant, pour tout entier relatif .
On admet que la donnée d'un germe permet de définir une unique suite périodisée .
À titre d'exemple, à partir du germe ( ), on définit, dans , la suite de période .
Les définitions de somme, produit par un nombre réel et produit de suites définies sur se prolongent naturellement aux suites définies sur .
Q 38. Étant donnée une suite périodique de période , démontrer que, pour tout entier relatif ,

À deux suites périodiques de même période , on associe la suite , appelée convolée circulaire des suites et , définie par .
Q 39. Montrer que la convolée circulaire de deux suites périodiques de période est une suite périodique de période .
Q 40. On considère les suites et périodiques de période 3 , dont les germes sont et . Donner le germe de .
Q 41. Combien d'opérations (additions et multiplications) sont à priori nécessaires pour calculer les termes à partir de la donnée de et ?
On définit la transformée de Fourier discrète d'une suite périodique de période comme la suite périodisée de période dont le germe est la transformée de Fourier discrète ( ) du germe ( ) de la suite .
Q 42. Pour deux suites et périodiques de période , montrer que .
Q 43. En utilisant à la fois la transformée de Fourier rapide, le résultat de la question 42 et la formule d'inversion, donner, lorsque , un majorant (dépendant de ) du nombre d'opérations (additions, multiplications entre nombres complexes, divisions d'un nombre complexe par un entier naturel) utilisées pour calculer efficacement le germe de la convolée circulaire de deux suites périodiques de période .