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Centrale Mathématiques 2 TSI 2021

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Algèbre linéaireRéduction
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Centrale
Année
2021
Filière
TSI
Matière
Maths
Centrale TSICentrale 2021TSI MathsMaths 2021
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Notations et rappels

  • Pour et deux entiers naturels supérieurs ou égaux à désigne l'espace vectoriel des matrices à lignes et colonnes à coefficients réels. désigne l'espace vectoriel des matrices carrées de taille et la matrice identité d'ordre .
Si , on note le coefficient situé sur la -ème ligne et la -ème colonne de .
Si , on note la matrice diagonale de dont les coefficients diagonaux sont .
  • Base de
Pour tout , on note la matrice de dont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient situé sur la -ème ligne et la -ème colonne qui vaut 1 . On admet que est une base de .
  • Matrices blocs
Si et sont deux entiers naturels non nuls tels que , toute matrice peut s'écrire sous la forme où et . Si est une décomposition du même type, on admet que le produit matriciel s'effectue selon la même formule que le produit habituel en remplaçant les coefficients par des blocs :
  • Polynômes matriciels
Si , on définit la suite des puissances de par et, pour tout entier naturel , .
désigne l'ensemble des polynômes à coefficients réels et l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à .
Si et si , on note la matrice de .
On dit alors que est un polynôme matriciel en .
Enfin, on admet que, si et , alors .

Définition et objectifs du problème

On définit le commutant d'une matrice par
L'objectif de la première partie est d'expliciter le commutant de certaines matrices de , notamment dans le cas où . La deuxième partie aborde l'étude d'une suite récurrente linéaire d'ordre 3 à coefficients constants. Seuls les résultats du I.B. 3 sont utilisés dans la partie II.
Le candidat mentionnera les résultats obtenus à l'aide d'une calculatrice. Dans ce cas, aucune justification complémentaire n'est attendue.

I Commutant d'une matrice

I.A - Propriétés générales

Soit une matrice de et une matrice inversible de .
Q 1. Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
Q 2. Montrer que, si et appartiennent à , alors leur produit appartient à .
Q 3. Montrer que si appartient à , alors, pour tout entier naturel appartient à .
Q 4. Déduire de la question précédente que, si , alors .
On note .
Q 5. Montrer que appartient à si et seulement si appartient à .
On définit les deux applications et par
Q 6. Justifier que et sont des applications linéaires.
Q 7. Calculer et .
Q 8. Établir que et sont des isomorphismes.

I.B - Quelques exemples en dimension 3

I.B.1) Premier exemple

On considère la matrice .
Q 9. Montrer que est diagonalisable dans et expliciter une matrice inversible et une matrice diagonale telles que .
Q 10. Montrer qu'une matrice de appartient à si et seulement s'il existe trois réels et tels que
Q 11. En déduire une base de faisant intervenir certaines des matrices .
Q 12. En utilisant la question 8, déterminer une base de . Quelle est la dimension de ?

I.B.2) Deuxième exemple

On considère la matrice .
Q 13. Justifier sans calcul que est diagonalisable dans et expliciter une matrice inversible et une matrice diagonale vérifiant telles que .
Q 14. Montrer qu'une matrice de appartient à si et seulement s'il existe cinq réels et tels que
Q 15. En déduire une base de puis une base de . Quelle est la dimension de ?

I.B.3) Troisième exemple

On considère la matrice .
Q 16. Donner le polynôme caractéristique de , ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.
Q 17. est-elle trigonalisable ? Est-elle diagonalisable ? Justifier les réponses.
On note l'endomorphisme de admettant comme matrice dans la base canonique de .
Q 18. Déterminer les vecteurs et de vérifiant et et dont les premières composantes dans la base sont égales à 1 .
Q 19. Déterminer le vecteur de première composante nulle dans la base vérifiant .
Q 20. Vérifier que est une base de et donner une matrice inversible telle que , où
Q 21. Montrer qu'une matrice de appartient à si et seulement s'il existe quatre réels et tels que
Q 22. En déduire une base de , puis une base de .

I. - Commutant d'une matrice d'ordre ayant valeurs propres distinctes

On suppose dans cette sous-partie que est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et que est une matrice réelle d'ordre admettant valeurs propres réelles deux à deux distinctes .

I.C.1)

Q 23. Justifier qu'il existe une matrice inversible telle que où .
Q 24. Démontrer que, pour tout polynôme de ,
I.C.2) On considère l'application .
Q 25. Montrer que est linéaire et injective.
Q 26. Démontrer que, pour tout -uple de , il existe un unique polynôme tel que
I.C.3) Soit une matrice de .
Q 27. Pour tout , calculer et .
Q 28. Démontrer que appartient à si et seulement s'il existe des réels tels que
Q 29. Déterminer une base de , puis une base de .
Q 30. Comparer la dimension de avec le résultat obtenu à la question 12.
I.C.4) Soit une matrice appartenant à . On pose .
Q 31. Démontrer qu'il existe un polynôme tel que .
Q 32. Démontrer que pour tout entier naturel , puis que,
Q 33. En déduire que , puis comparer à l'ensemble des polynômes matriciels en .

I.D - Commutant d'une matrice diagonalisable ayant deux valeurs propres

On suppose dans cette sous-partie que est une matrice diagonalisable sur , ayant exactement deux valeurs propres et .
Pour tout , on note où est le sous-espace propre de associé à la valeur propre .
Soient
et une matrice inversible de telle que .
Q 34. Montrer qu'une matrice de appartient à si et seulement s'il existe deux matrices et telles que
Q 35. En déduire la dimension de et comparer ce résultat avec celui trouvé à la question 15.

II Suites récurrentes linéaires d'ordre 3

On note l'ensemble des suites réelles définies sur et le sous-ensemble de formé des suites qui vérifient
où est un nombre réel. On admet que est un sous-espace vectoriel de .

II.A - Étude du cas particulier

On considère ici la suite définie par ses trois premiers termes et la relation de récurrence
Pour tout entier naturel , on pose .
Q 36. Donner l'expression de en fonction de et de la matrice définie au I.B.3. En déduire l'expression de en fonction de et de .
Q 37. Déterminer, pour tout entier naturel , la matrice où est la matrice définie à la question 20 .
Q 38. En décomposant en une somme de trois matrices bien choisies, montrer que est combinaison linéaire des suites .
Q 39. Réciproquement, démontrer que toute combinaison linéaire des trois suites précédentes vérifie la récurrence (II.1).

II.B - Étude du cas général

On revient au cas général où est un réel quelconque. On considère l'application
Q 40. Démontrer que est un isomorphisme et donner la dimension de .
Q 41. Justifier que 3 suites de forment une base de si, et seulement si, le déterminant est non nul.
Q 42. Soit . Démontrer que la suite ( ) définie par
appartient à si et seulement si
L'équation (II.2) s'appelle équation caractéristique de la récurrence. On note .
Q 43. Démontrer que 1 est racine du polynôme et et que toutes les racines de sont réelles.
Q 44. On suppose et . Montrer que admet deux racines distinctes, autres que 1 , notées et . Montrer que les suites et forment une base de l'espace vectoriel .
Q 45. Montrer que, si , l'équation (II.2) admet une racine double et une racine simple, notées respectivement et . Donner les valeurs de et .
Q 46. Soit un nombre réel non nul et la suite de terme général . Démontrer que, pour tout de ,
où désigne la dérivée de .
Q 47. En déduire, dans le cas où , que la suite est élément de . Déterminer une base de .
Q 48. Déterminer la suite vérifiant
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