Centrale Mathématiques 2 TSI 2020

Ce sujet se compose de deux problèmes indépendants l'un de l'autre.

Dans tout ce problème, désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
L'espace vectoriel est muni de sa structure euclidienne canonique et on note son produit scalaire.
désigne l'espace vectoriel des matrices carrées de taille à coefficients réels.
désigne la matrice identité de .
La transposée d'une matrice est notée .
On rappelle qu'une matrice est orthogonale lorsque .
Une matrice est triangulaire supérieure lorsque dès que .
On pourra utiliser sans preuve les deux résultats suivants :

Ce problème étudie deux types de décompositions matricielles, d'abord pour une matrice inversible, puis pour une matrice dont le polynôme caractéristique est scindé sur .

Soit .
On note et les colonnes de considérées comme des vecteurs de .
Q 1. Justifier que la matrice est inversible. En déduire que la famille est une base de .
Q 2. Appliquer le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt à la base pour construire une base orthonormée de .
Q 3. Soit la matrice de passage de la base canonique de à la base . Justifier que .
Q 4. Déterminer la matrice de passage de la base à la base .
On constate que est triangulaire supérieure à éléments diagonaux strictement positifs.
Q 5. Justifier que .

Q 6. Soit une matrice inversible. En s'inspirant de la démarche mise en place sur l'exemple, montrer qu'il existe une matrice orthogonale et une matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs telles que .
Q 7. Soit un vecteur de et une matrice inversible de . Expliquer l'intérêt de la décomposition , avec orthogonale et triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs, pour résoudre le système linéaire , d'inconnue .
Les deux questions qui suivent permettent de démontrer l'unicité de la décomposition précédente.
Q 8. Soit une matrice à la fois orthogonale et triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs. En raisonnant de proche en proche de la première à la dernière colonne de , montrer que .
Q 9. On considère quatre matrices de telles que et sont orthogonales, et sont triangulaires supérieures à coefficients diagonaux strictement positifs et . Montrer que et .

Q 10. Soit une matrice de dont le polynôme caractéristique est scindé sur . En utilisant la décomposition d'une matrice inversible bien choisie, démontrer qu'il existe une matrice orthogonale et une matrice triangulaire supérieure telles que .

Q 11. Donner un exemple de matrice diagonalisable et une décomposition avec orthogonale et triangulaire supérieure à éléments diagonaux strictement positifs, mais non diagonale.
Q 12. Donner un exemple de matrice diagonalisable et une décomposition avec orthogonale et diagonale à éléments diagonaux strictement positifs.

Dans tout ce problème, désigne un entier naturel.
Pour , le symbole de Kronecker est défini par
On note l'ensemble des polynômes à coefficients réels et l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à . On identifie un polynôme et la fonction polynomiale associée, définie sur le segment à valeurs dans .
Pour toute fonction continue sur et à valeurs dans , on note .
Pour toute fonction de classe , on note sa dérivée -ième.

On s'intéresse dans ce problème à une méthode numérique de calcul approché de

pour une fonction continue sur à valeurs dans . Le principe de cette méthode, dite par quadrature, consiste à approcher par une somme, pondérée par des poids , de valeurs prises par la fonction en points distincts ( ) de l'intervalle .
On note le -uplet et la somme .
Les réels sont appelés nœuds de la quadrature. La performance de cette méthode d'approximation dépend du nombre de nœuds, du choix de ces nœuds et de la régularité de la fonction . Ces trois aspects sont abordés dans ce problème.

Dans cette sous-partie, sont points distincts de l'intervalle .

Pour tout entier , on note .
Q 13. Vérifier que, pour tout couple .
Q 14. Démontrer que est une base de et donner la décomposition, dans cette base, d'un polynôme quelconque de .
On se propose de démontrer qu'il existe un unique -uplet pour lequel l'égalité

est valable pour toute fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à .
On raisonne par analyse-synthèse.
a) Analyse

On suppose l'existence d'un tel -uplet .
Q 15. Pour tout entier , exprimer en fonction de .
Q 16. En déduire l'unicité de .
b) Synthèse

Q 17. Démontrer que, pour les valeurs , déterminées à la question 15 , l'égalité

est valable pour toute fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à .

Dans toute la suite, pour un jeu de nœuds donné, on note le polynôme

Si sont les valeurs déterminées à la question 15 , on rappelle que

Q 18. On choisit et . Donner l'interprétation géométrique, en termes d'aire, de lorsque est positive sur .
Q 19. On choisit et . Donner l'interprétation géométrique, en termes d'aire, de lorsque est positive sur .

On suppose de classe sur et on se propose de majorer l'erreur d'approximation .
Q 20. Justifier l'existence de et de .
Q 21. Démontrer que est l'unique polynôme de vérifiant , pour tout entier .
On se propose de démontrer que, pour tout réel ,

On suppose que est une fonction de classe sur s'annulant en au moins points distincts de .
Q 22. Démontrer que s'annule en au moins points distincts de .
Q 23. Démontrer que s'annule en au moins un point de l'intervalle .
Q 24. Démontrer que l'inégalité (II.1) est vérifiée si .
Q 25. On suppose que . Montrer qu'il existe un réel pour lequel la fonction définie sur [-1, 1] par

vérifie .
Q 26. En utilisant le résultat de la question 23 , démontrer qu'il existe un réel tel que

et conclure.
Q 27. En déduire que .

On choisit un jeu de nœuds équidistants dans l'intervalle [ ] vérifiant et . On cherche à minorer .
Q 28. On pose et th avec . Exprimer en fonction de .
Q 29. Justifier que la fonction admet un maximum sur et que ce maximum est atteint sur .

On admet dans la suite que ce maximum est atteint sur .
Q 30. Démontrer que .
Q 31. Démontrer par récurrence que, pour tout entier !.
Q 32. En déduire une minoration de .

On cherche un nouveau jeu de nœuds utilisant une famille de polynômes.
On rappelle que arccos est la fonction réciproque de la fonction
Pour tout entier , on note .
Q 33. Préciser le domaine de définition de .
Q 34. Calculer, pour tout dans le domaine de définition, et .
Q 35. Pour tout entier naturel , calculer et .
Q 36. Étudier la parité de en fonction de .
Q 37. Pour tout dans le domaine de définition, démontrer que .
Q 38. En déduire que est une fonction polynomiale dont on précisera le degré et le coefficient dominant. Pour tout entier naturel est le -ième polynôme de Tchebychev.
Q 39. Montrer que admet racines distinctes dans l'intervalle .
On rappelle qu'après l'exécution de l'instruction Python import numpy as np, np. pi désigne la constante et np. cos correspond à la fonction cosinus. La fonction np. cos peut s'appliquer à un tableau, elle produit alors un nouveau tableau de même dimension dont les composantes sont les cosinus des composantes du tableau passé en paramètre. Par ailleurs, l'expression np.linspace( ) construit un vecteur de n valeurs, régulièrement espacées, la première valant x et la dernière y .
Q 40. Compléter la fonction Python Tchebychev(n) ci-dessous qui prend en argument un entier et renvoie un couple de deux vecteurs et , avec, pour tout .

import numpy as np
def Tchebychev(n):
    T = np.linspace(np.pi/2, np.pi, 1000)
    U = np.cos(T)
    Y = . . .
    return U, Y

En reliant les points de coordonnées ( ) pour deux valeurs du paramètre , on a obtenu les deux courbes suivantes.

Q 41. Pour chacune de ces deux courbes, préciser, en la justifiant, la valeur utilisée pour le paramètre .
Q 42. On choisit les racines obtenues en question 39 comme nœuds du jeu . Donner la valeur de .

Q 43. En admettant que , calculer la limite, lorsque tend vers , du rapport .
Q 44. À l'aide de ce résultat et de celui de la question 27, comparer la qualité des estimations de l'intégrale sur par quadrature, selon le choix de ou comme jeu de nœuds.