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Centrale Mathématiques 2 TSI 2019

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéduction
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Centrale
Année
2019
Filière
TSI
Matière
Maths
Centrale TSICentrale 2019TSI MathsMaths 2019
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Notations

Pour , on note:
  • l'espace vectoriel réel des matrices à lignes et colonnes à coefficients réels;
  • l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre à coefficients réels ;
  • la matrice identité de ;
  • le sous-ensemble de constitué des matrices orthogonales ;
  • le sous-espace vectoriel de constitué des matrices symétriques ;
  • la transposée de ;
  • la trace de ;
    la matrice diagonale de
  • l'ensemble des polynômes à coefficients réels;
  • le polynôme caractéristique de la matrice ;
  • la matrice de qui a tous ses coefficients nuls sauf le coefficient situé sur la -ème ligne et la -ème colonne qui vaut 1 . Lorsque , on simplifie l'écriture en notant la matrice .
    On identifie et , ensemble des matrices à lignes et 1 colonne.
    On admet que est une base de .
    Mis à part les questions 31 et 38, les parties I, II et III sont indépendantes. Dans la partie III, les questions 34, 35, 36 et 37 sont indépendantes de ce qui précède. La partie IV dépend fortement des parties II et III.

I Matrices compagnons

Si est un -uplet de nombres réels, on note la matrice de égale à .

I.A - Étude d'un premier exemple

Dans cette question on suppose et .
Q 1. Calculer le polynôme caractéristique de .
Q 2. Montrer que est diagonalisable dans et déterminer une matrice diagonale avec de et une matrice inversible de telles que

I.B - Étude d'un second exemple

Dans cette question on suppose .
Q 3. Déterminer le polynôme caractéristique de et une base de chacun des sous-espaces propres de .
Q 4. Montrer que n'est pas diagonalisable dans mais qu'elle est trigonalisable dans .
On considère le vecteur colonne de .
Q 5. Déterminer un vecteur colonne de tel que .
Q 6. Déterminer un vecteur colonne de tel que .
Q 7. En déduire une matrice inversible de telle que où .
- On revient au cas général, où . On pose .
Q 8. Montrer par récurrence sur que le polynôme caractéristique de est
Q 9. Montrer que si alors le rang de est supérieur ou égal à ; en déduire que les sous-espaces propres de sont de dimension 1 .
Q 10. Montrer que est diagonalisable si et seulement si le polynôme caractéristique de est scindé à racines simples.

I.D -

Q 11. On considère un polynôme unitaire de de degré . Montrer qu'il existe un unique tel que où .
Q 12. Étant donné un polynôme de , donner une condition nécessaire et suffisante portant sur pour que ce polynôme soit le polynôme caractéristique d'une matrice.

II Matrices symétriques positives

Dans cette partie, on considère un entier naturel non nul. On rappelle que la norme euclidienne de est définie par où , en particulier .
Soit , une matrice réelle symétrique. On dit que est positive si pour tout .

II.A -

Q 13. Montrer que si et si et sont des matrices symétriques positives de alors est une matrice symétrique positive.
Q 14. Montrer que si est une matrice symétrique positive, alors l'est aussi.
II.B - On considère une matrice symétrique positive de .
Q 15. Justifier qu'il existe une matrice et des réels tels que
Q 16. On considère et un vecteur propre de associé à . Montrer que
Q 17. En déduire que les valeurs propres de sont toutes positives.
Q 18. Soit une matrice symétrique positive de . Montrer que et .
II. - Réciproquement, on considère une matrice symétrique de dont toutes les valeurs propres sont positives. Il existe alors une matrice et des réels positifs tels que
Q 19. On considère et . On note , montrer que
Q 20. En déduire que est une matrice symétrique positive.
Q 21. Montrer que si est une matrice symétrique de alors est symétrique positive si et seulement si ses valeurs propres sont positives.
II.D - Soit .
Q 22. On suppose qu'il existe telle que . Montrer que est symétrique positive.
Q 23. Réciproquement, on suppose que est une matrice symétrique positive. En utilisant la sous-partie II.B, montrer qu'il existe une matrice telle que .

III Produits de Kronecker

Soient , des entiers . Pour et , on définit le produit de Kronecker (ou produit tensoriel) de et noté par
Par exemple dans le cas on a
III. A - On considère et .
Q 24. Calculer et .
Q 25. Justifier sans calcul que la matrice est diagonalisable.
Q 26. Vérifier que est un vecteur propre de , que est un vecteur propre de et que est un vecteur propre de .
III.B - Dans cette sous-partie uniquement, on énonce des propriétés vraies pour tous , et on demande de faire les preuves seulement dans le cas où .
Q 27. Si et montrer que
Dans la suite du problème, on admettra que si de plus alors
Q 28. Si et montrer que . En déduire que si et sont symétriques alors est symétrique.
Q 29. Pour toutes matrices et démontrer que .
Dans la suite du problème, on admettra que si et alors
III. - On revient au cas général où est un entier naturel non nul et on considère une valeur propre de et un vecteur propre de associée à , une valeur propre de et un vecteur propre de associée à .
Q 30. Montrer que est un vecteur propre de et que est une valeur propre de .
Q 31. Si sont des matrices symétriques positives montrer que est une matrice symétrique positive de . On pourra utiliser les résultats des questions 22 et 23 ainsi que l'égalité (III.3).
III.D - On considère la base de . On pourra aussi utiliser la base de .
Q 32. On suppose dans cette question que . Calculer et plus généralement les 16 produits tensoriels .
Q 33. Si exprimer en fonctions d'éléments de la base canonique de .
On admet dans la suite du problème que la famille des produits tensoriels pour est une base de .
On note l'endomorphisme de vérifiant .
Q 34. Montrer que .

III.E - Application aux entiers algébriques

On dit qu'un nombre complexe est un entier algébrique s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans , c'est-à-dire tel que .
Q 35. Démontrer que tout élément est un entier algébrique.
Q 36. Montrer que i et sont des entiers algébriques.
Q 37. Prouver que le nombre d'or est un entier algébrique.
On admet que le polynôme caractéristique d'une matrice à coefficients dans est lui-même à coefficients dans .
Q 38. En utilisant la sous-partie I.D et la question 30 , montrer que le produit de deux entiers algébriques et est un entier algébrique.

IV États quantiques de Werner

Dans cette partie, on étudie certains états quantiques introduits par le physicien Reinhard Werner en 1989. Chaque état de Werner représente l'état quantique d'un système à deux particules. Actuellement, ces thèmes sont au cœur de la physique contemporaine et font l'objet d'intenses recherches.
Soit un entier. On dit qu'une matrice est un état quantique de si et si est une matrice symétrique positive. On note l'ensemble des états quantiques de (c'est-à-dire l'ensemble des matrices symétriques positives de trace 1 de ).
Q 39. Si montrer que . On dit que est un ensemble convexe.
Q 40. On suppose que est un entier naturel non nul. Montrer que si, , et si alors .
Un état quantique est dit séparable si on peut l'écrire sous la forme
pour un certain entier naturel , des états quantiques et de et des réels vérifiant .
Q 41. Montrer que si un état de est séparable alors la matrice est symétrique positive (l'application a été définie dans la sous-partie III.D).
On définit la matrice ligne de par
Q 42. Calculer le produit .
Q 43. Montrer que est un état quantique de .
On suppose dans la suite que .
Q 44. Préciser la matrice de .
Soit . On définit la matrice .
Q 45. Montrer que est un état quantique de . On l'appelle état quantique de Werner.
Q 46. Expliciter la matrice .
Q 47. Expliciter la matrice de et calculer ses valeurs propres.
Q 48. En utilisant la question 41, démontrer qu'il existe un intervalle inclus dans tel que n'est pas séparable.
Ce résultat traduit que, pour les valeurs de dans cet intervalle, l'état quantique des deux particules est global, on ne peut pas le décrire en séparant les particules l'une de l'autre.
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