Centrale Mathématiques 2 TSI 2018

Ce problème aborde l'étude de solutions exactes ou approchées d'équations et systèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficients constants ainsi que des méthodes de calcul numérique de solutions approchées de ces équations.
La première partie s'intéresse à la résolution exacte des équations différentielles qui modélisent la charge et la décharge d'un condensateur. La deuxième partie présente la méthode d'Euler pour approcher la solution d'une équation différentielle correspondant à la décharge d'un condensateur ; les notions de convergence, de consistance et de stabilité de cette méthode y sont abordées. La troisième partie aborde la résolution exacte et approchée d'un système différentiel linaire d'ordre 2 à coefficients constants. Les trois parties sont largement indépendantes les unes des autres.
On note l'ensemble des vecteurs colonnes à coefficients réels comprenant 2 lignes. On identifie et : un vecteur de est représenté par une matrice colonne à deux lignes. désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels. L'ensemble est l'ensemble des matrices de qui sont orthogonales.
On note la matrice identité de .
Si est une suite de vecteurs de et si on note et les coordonnées du terme général dans une base donnée de , on dit que la suite ( ) est bornée dans si les suites et sont bornées dans . On admet que le caractère borné d'une suite à valeurs dans ne dépend pas du choix de la base.
Avec les mêmes notations, on dit que la suite ( ) est convergente dans si les suites et sont convergentes dans . On admet que le caractère convergent d'une suite à valeurs dans ne dépend pas du choix de la base.

On considère un condensateur de capacité , deux résistances identiques et une force électromotrice qui délivre une tension constante , connectés suivant le schéma de la figure 1. On suppose que le condensateur est chargé sous la différence de potentiel et que les deux interrupteurs et sont ouverts. À l'instant , on ferme l'interrupteur . La tension aux bornes du condensateur au cours du processus de décharge vérifie l'équation

Le réel est la constante de temps du circuit.

Q 1. Rappeler la forme des solutions de l'équation (I.1).
La fonction est désormais l'unique solution de l'équation (I.1) telle que .
Q 2. Exprimer en fonction de l'instant à partir duquel la tension devient inférieure à de sa valeur initiale .
À l'instant , on ouvre l'interrupteur et on ferme l'interrupteur simultanément. La tension aux bornes du condensateur vérifie alors:

Q 3. Exprimer la valeur de pour . (On rappelle que .)
Q 4. Étudier les variations de la fonction sur l'intervalle . On distinguera les cas , et et on précisera les dérivées à droite et à gauche de en , ainsi que la limite de la fonction en .
Q 5. Représenter graphiquement la courbe représentative de la fonction sur l'intervalle dans chacun des trois cas distingués à la question précédente.
- On suppose toujours qu'à l'instant on ouvre l'interrupteur et on ferme l'interrupteur simultanément. L'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur à l'instant vaut . À tout instant , l'énergie emmagasinée dans le condensateur vaut ; à tout instant , l'énergie emmagasinée dans le condensateur vaut .
Q 6. Déterminer en fonction de et .
Q 7. Exprimer la valeur de l'énergie à tout instant , en fonction de et .
Q 8. L'énergie possède-t-elle une limite finie quand ? Si oui, donner la valeur de cette limite.

II.A.1)

Q 9. Montrer que pour tout .
Q 10. Donner une représentation graphique de cette inégalité.
II.A.2)

Q 11. Montrer que .
Q 12. Soit . Montrer qu'il existe un rang tel que, pour tout .
Q 13. Montrer que la suite de terme général est bien définie pour tout , montrer qu'elle converge et déterminer sa limite.
Q 14. En déduire que .
II.A.3)

Q 15. Montrer l'existence de et déterminer sa valeur.

Fixons des réels et . Considérons l'équation différentielle suivante où l'inconnue est la fonction :

On note l'unique solution de l'équation (II.1) vérifiant la condition initiale . On se propose de calculer de manière approchée la fonction à l'aide de la méthode d'Euler.
Pour cela, pour tout :

On pose, pour tout et . Le réel est l'erreur de consistance du schéma : cette erreur résulte directement du schéma d'approximation, indépendamment des erreurs dues aux arrondis dans les calculs.
Q 22. Montrer que, pour tout .
Q 23. Soit . Déterminer le signe du réel .
Q 24. Montrer l'égalité .
Q 25. En déduire que .
On dit dans ce cas que le schéma d'approximation est consistant.

On considère, dans cette sous-partie II.D uniquement, que la suite est définie pour tout (i.e. que l'on approxime les solutions de l'équation (II.1) sur est donc la suite définie par et pour tout . De même, on pose, pour tout .
En pratique, le calcul numérique des termes de la suite est soumis à des erreurs d'arrondis : par exemple, chaque nombre est calculé avec une précision limitée par le codage des nombres flottants. Pour simplifier, on suppose que l'erreur d'arrondi est constante à chaque itération. Lorsqu'on souhaite calculer les termes comme dans la sous-partie II.B, à cause des erreurs d'arrondi, on calcule en fait les termes de la suite où est une valeur approchée de et

On cherche à savoir si le schéma d'approximation tend à amplifier ou à réduire les erreurs d'arrondis. Pour tout , on pose . On note et . On pose enfin, pour tout .
II.D.1)

Q 26. Vérifier que est bien défini.
Q 27. Montrer que pour tout .
Q 28. Établir que la suite de terme général est géométrique. En déduire une expression du terme général , puis du terme général , en fonction de et .
II.D.2)

Q 29. On suppose . Montrer que la suite ( ) est bornée si et seulement si .
Q 30. En déduire une condition nécessaire et suffisante sur et pour que la suite ( ) soit bornée quelle que soit la valeur de .
On dit que le schéma d'approximation est conditionnellement stable.

Q 31. On suppose dans cette question que et . Donner une valeur de pour laquelle la suite est bornée tandis que la suite ne l'est pas.

III.A.1) On considère le système différentiel

Q 32. Déterminer une matrice telle que ce système puisse s'écrire sous la forme de l'équation

où l'inconnue est la fonction .
Q 33. Justifier, sans aucun calcul, que la matrice est diagonalisable.

Q 34. On pose . Justifier qu'il existe une matrice vérifiant l'égalité : . On ne demande pas de calculer la matrice .
Q 35. Résoudre le système différentiel , où l'inconnue est la fonction .

Q 36. Montrer que, pour tout , la matrice est inversible.
Q 37. Soit . On pose . Montrer que, pour tout , la matrice est semblable à la matrice .
Q 38. En déduire que pour tout , la suite de terme général converge vers le vecteur .

On considère un vecteur et le système différentiel suivant

On note l'unique solution du système (III.2) vérifiant la condition initiale .
Q 39. Montrer, pour tout , l'existence dans de et préciser sa valeur.
Soit . Pour tout , on note une valeur approchée de . En tout point , on approche le vecteur dérivé par le taux d'accroissement . On calcule les termes de la suite en posant :

Q 40. Montrer que pour tout .
Q 41. En déduire en fonction de et .
On considère qu'à chaque itération on effectue le calcul avec une erreur d'arrondi constante égale à . On définit les suites et à valeurs dans par leurs premiers termes et et les relations de récurrence, valables pour tout et . Pour tout , on pose .
Q 42. Montrer que pour tout .
Q 43. Démontrer que la matrice est inversible.
Q 44. On note . Montrer que pour tout .
Q 45. En déduire que pour tout .
Q 46. En déduire que la suite ( ) est bornée dans quelle que soit la valeur de l'erreur et quel que soit le nombre .
On dit dans ce cas que la méthode d'approximation est stable.