Centrale Mathématiques 2 TSI 2017

Ce sujet comporte deux parties indépendantes.

Les torseurs sont des outils mathématiques utilisés en mécanique du solide indéformable.
On considère un solide indéformable . Si est un point de ce solide et si désigne la vitesse du point dans le référentiel galiléen , il est bien connu que, pour tous points et de , on a

où est un vecteur (un pseudo-vecteur en réalité) appelé vecteur instantané de rotation du solide par rapport au référentiel .
L'application est appelé torseur cinématique.
Cette partie se propose de dégager la théorie liée aux torseurs.

On appelle torseur toute application pour laquelle il existe un vecteur tel que que la relation est vérifiée pour tous points et de .

I.A.1) Soit un vecteur de . Montrer que l'application est un torseur.
I.A.2) Montrer que l'ensemble des torseurs est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel des applications de dans .

a) Soient et deux vecteurs de l'espace. Rappeler, sans démonstration, une condition géométrique nécessaire et suffisante pour que .
b) Soit un torseur. Montrer que le vecteur de la définition est unique.

Il s'appelle la résultante du torseur . On admet que l'application est linéaire.
I.A.4) Vérifier qu'une application constante de dans est un torseur et en donner la résultante. Un tel torseur s'appelle un couple. Montrer que l'ensemble des couples est un sous-espace vectoriel de et que l'application est un isomorphisme.
En déduire la dimension de .
I.A.5) On appelle glisseur tout torseur qui s'annule en au moins un point de .
a) Soit un point de distinct de et un vecteur non nul et non colinéaire à . On note et .
Montrer que et sont des glisseurs, mais que n'en est pas un. Expliquer pourquoi l'ensemble des glisseurs n'est pas un sous-espace vectoriel de .
b) Montrer que l'ensemble des glisseurs s'annulant en est un sous-espace vectoriel de et que l'application , où est la résultante de , est un isomorphisme.
En déduire la dimension de .
c) Démontrer que . Quelle est la dimension de ?

I.B.1) Démontrer que, si est un torseur alors vérifie la propriété suivante:

Cette propriété est connue sous le nom de propriété d'équiprojectivité.
On se propose d'étudier la réciproque.

a) Rappeler la définition d'une matrice antisymétrique.
b) L'espace est muni du repère orthonormé direct ( ) et on identifie tout vecteur avec la matrice colonne contenant ses coordonnées dans la base .
Montrer qu'il existe un unique vecteur , dont on donnera les coordonnées dans la base , tel que

I.B.3) Soit une application telle que pour tous vecteurs et .
a) Montrer que est linéaire.

Pour et deux nombres réels, on pourra considérer le vecteur et montrer qu'il est orthogonal à tout vecteur de .
b) Montrer que la matrice de dans la base est une matrice antisymétrique.
c) Démontrer qu'il existe un unique vecteur tel que pour tout .
I.B.4) Soit une application vérifiant la propriété d'équiprojectivité. Montrer alors que est un torseur.

On pourra considérer l'application définie pour tout vecteur par où désigne le translaté du point par le vecteur c'est-à-dire .

Soient et une suite de nombres réels ou complexes. Pour , on pose

La suite est appelée suite des produits partiels associée à .
On dit que le produit infini converge si la suite admet une limite finie non nulle. Cette limite est notée et est appelée valeur du produit infini. Si est divergente ou de limite nulle, on dit que le produit infini diverge.

a) Montrer que .

En déduire la divergence du produit infini .
b) Justifier que .

En déduire la convergence et la valeur du produit infini .

a) Montrer que si converge alors pour tout .
b) Montrer, en considérant le quotient que si converge alors .
c) La condition est-elle suffisante pour que le produit infini converge ?
II.A.3) On suppose dans cette question que est une suite de réels strictement positifs.
a) Montrer que le produit infini converge si et seulement si la série converge. Préciser alors la relation entre et .
b) Montrer que si, pour tout alors le produit infini converge si et seulement si la série converge.
c) Soit un nombre réel appartenant à [ 0,1 [ quelle est la nature du produit infini ?
II.B - Développement en produit infini de

On se propose dans cette sous-partie de démontrer que

II.B.1) Expliquer pourquoi il suffit de démontrer cette égalité pour tout .

Dans toute la suite de cette sous-partie II.B, est un réel fixé appartenant à l'intervalle .
II.B.2) Prouver la convergence du produit infini .

a) Montrer que pour tout .
b) On définit la fonction , -périodique, par , .

Représenter graphiquement la fonction dans le cas particulier où .
Dans le cas général où , démontrer que est continue sur et par morceaux.
Calculer les coefficients de Fourier de .
c) En déduire, pour tout , l'égalité

d) Pour tout tel que on pose . Montrer que,

a) À l'aide d'un développement limité en 0 de , calculer . En déduire la convergence de l'intégrale .
b) Prouver l'existence et calculer la limite de quand tend vers 0 .
c) En déduire que .
d) Expliquer pourquoi la quantité est définie pour tout et tout .
e) Justifier que .
f) Montrer que

g) Montrer que, pour tout ,

h) En déduire le développement en produit infini de .

a)
i. Justifier la convergence du produit infini .
ii. À l'aide du développement en produit infini de appliqué à un réel bien choisi, donner la valeur du produit infini .
b) On introduit la fonction de Riemann donnée par .
i. Prouver que est définie sur .
ii. Écrire le développement limité à l'ordre 3 en 0 de la fonction .
iii. On trouve dans les travaux d'Euler un «calcul formel» permettant d'obtenir la valeur de . Il identifie les termes de degré 3 du développement limité de et de son développement en produit infini. Conjecturer la valeur de en utilisant cette méthode.