J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Centrale Mathématiques 2 TSI 2016

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Logo centrale
🔗 Explorer
Banque
Centrale
Année
2016
Filière
TSI
Matière
Maths
Centrale TSICentrale 2016TSI MathsMaths 2016
2025_08_29_50acd2c4a4a29fd479f9g

Notations

  • désigne l'ensemble des matrices à coefficients réels ayant 3 lignes et 3 colonnes.
  • désigne le sous-ensemble de formé des matrices inversibles.
  • désigne le sous-ensemble de formé des matrices orthogonales.
  • est la matrice identité de .
  • Le polynôme caractéristique d'une matrice de est .
  • est l'ensemble des matrices à coefficients réels ayant 3 lignes et 1 colonne.
  • La norme euclidienne d'un élément de , égale à , est notée .
  • On rappelle qu'une suite de est bornée s'il existe une constante indépendante de telle que pour tout et qu'une suite de converge vers si .
  • Pour désigne l'ensemble des valeurs propres complexes de et le maximum des modules des valeurs propres de A ; on appelle le rayon spectral de .
    On a donc .
  • désigne l'ensemble des matrices qui vérifient (autrement dit, l'ensemble des matrices de dont toutes les valeurs propres sont réelles).

Objectif du problème

L'objectif du problème est d'étudier le comportement asymptotique d'une suite à valeurs dans vérifiant une relation de récurrence , où est une matrice de , en fonction de la condition initiale et du rayon spectral .
Les quatre parties du problème sont largement indépendantes entre elles.

I Généralités

I.A - Cas des matrices orthogonales

On considère une matrice orthogonale et un vecteur . On définit la suite par la condition initiale et la relation de récurrence , valable pour tout .
I.A.1) Exprimer en fonction de et justifier que la suite est bornée dans .
I.A.2) À quelle condition, portant sur le vecteur , la suite converge-t-elle vers ?
I.A.3) Que peut-on dire des valeurs propres d'une matrice qui appartient à la fois à et à ? En déduire la description de tous les éléments de .

I.B - Étude d'un exemple

Pour , on définit la matrice .
I.B.1) Pour quelles valeurs du paramètre la matrice appartient-elle à ? Pour ces valeurs de , donner une description géométrique de l'endomorphisme associé à dans la base canonique.
I.B.2) Pour quelles valeurs du paramètre la matrice appartient-elle à ? Que vaut alors son rayon spectral ?
I.B.3) Pour tout entier , calculer la matrice .
I.B.4) Déduire des deux questions précédentes qu'il existe et tels que la suite définie par la condition initiale et la relation de récurrence ne soit pas bornée dans .

II Un exemple issu des probabilités

Deux personnes sont perdues dans un labyrinthe composé de cinq pièces disposées comme indiqué sur le dessin de la figure 1. Chaque pièce est reliée aux deux pièces voisines par un couloir. Les couloirs sont représentés par les segments du dessin.
À l'instant , les deux personnes se situent dans deux pièces voisines (par exemple les pièces 1 et 2). Elles partent alors à la recherche l'une de l'autre selon les règles suivantes:
  • à partir d'une pièce, chacune peut aller dans l'une ou l'autre des deux pièces voisines, les deux possibilités étant de probabilité ;
  • les déplacements des deux personnes se font simultanément ;
  • les choix des déplacements sont indépendants les uns des autres;
  • on suppose que les deux personnes ne peuvent ni se retrouver ni se voir dans les couloirs qui relient entre elles les différentes pièces;
Figure 1
  • les deux personnes se déplacent jusqu'à se retrouver dans une même pièce ; une fois qu'elles se sont retrouvées, elles restent ensemble lors de leurs déplacements futurs.
    Pour tout entier naturel on note:
  • l'événement «les deux personnes sont dans la même pièce après déplacements » et ;
  • l'événement «les deux personnes sont dans des pièces voisines (par exemple les pièces 1 et 2 ou 1 et 5 ) après déplacements » et ;
  • l'événement «les deux personnes sont dans des pièces non voisines (par exemple les pièces 1 et 3 ou 1 et 4) après déplacements » et .
    II. - Donner les valeurs de et .
    II. - Soit un entier naturel. Déterminer la probabilité conditionnelle de sachant . Calculer de même les probabilités conditionnelles et .
    - En déduire l'égalité .
    II.D - Démontrer que, pour tout et .
    II. - On note . Déterminer une matrice telle que la relation soit vérifiée pour tout .
    II.F - On se propose de déterminer l'expression des trois suites et .
    II.F.1) Montrer que la suite vérifie la relation de récurrence linéaire d'ordre 2
II.F.2) En déduire l'expression de , puis celles de et de en fonction de .
II.F.3) Les suites et sont-elles convergentes ? Si oui, préciser leurs limites et en donner une interprétation.
II. - Soit la variable aléatoire égale au nombre de déplacements nécessaires pour que les deux personnes se retrouvent pour la première fois.
II.G.1) Quelles sont les valeurs prises par ?
II.G.2) Pour , exprimer l'événement ( ) en fonction de et .
II.G.3) Donner la loi de .
Justifier que pour .
Calculer l'espérance de .
Comment peut-on l'interpréter dans le cadre du problème du labyrinthe.

III Rayon spectral

III.A - Quelques résultats intermédiaires

Dans cette sous-partie, on fixe un nombre réel et deux matrices et vérifiant pour tout .
III.A.1) Démontrer l'inégalité , pour tout entier et toute matrice . En déduire que .

III.A.2)

a) Justifier brièvement l'inégalité
b) Pour , on pose .
En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz à des vecteurs bien choisis, démontrer l'inégalité
III.A.3) Déduire de ce qui précède l'inégalité , valable pour tout et tout .
On considère à présent un vecteur et la suite définie par la condition initiale et la relation de récurrence , valable pour tout .
III.A.4) En introduisant , démontrer l'inégalité , valable pour tout .
III.A.5)
a) Dans le cas où , montrer que la suite est bornée.
b) Dans le cas où , montrer que la suite converge vers .

III.B - Cas d'une matrice diagonalisable

On considère une matrice et une matrice diagonale .
III.B.1) Justifier l'égalité , valable pour toute matrice .
III.B.2) Préciser le rayon spectral de la matrice .
III.B.3) Pour tout , démontrer l'inégalité .
On suppose dans la suite de cette sous-partie que que est diagonalisable sur et on considère un vecteur . Comme précédemment, on définit la suite par la condition initiale et la relation de récurrence , valable pour tout .
III.B.4) Expliquer pourquoi il existe une matrice telle que l'on a l'inégalité pour tout .
III.B.5) En déduire que si alors la suite est bornée.
III.B.6) Le résultat de la question précédente est-il cohérent avec la question II.F. 3 ? Justifier la réponse.
III.B.7) Que dire de la suite si ?

III.C - Optimalité de l'hypothèse dans le cas général

III.C.1) On définit la matrice . Que vaut ? est-elle diagonalisable sur ?
III.C.2) Donner l'expression de , valable pour tout .
III.C.3) Comme précédemment, pour , on considère la suite définie par la condition initiale et la relation de récurrence .
Démontrer qu'il existe tel que la suite ne soit pas bornée dans .
III.D - Cas d'une matrice avec
Dans toute cette sous-partie, désigne une matrice de qui vérifie l'hypothèse .

III.D.1)

a) Expliquer pourquoi il existe une matrice triangulaire supérieure et une matrice telles que .
b) Exprimer le rayon spectral en fonction des coefficients de la matrice .

III.D.2)

a) En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, démontrer l'inégalité , valable pour tout vecteur .
b) En déduire, pour tous vecteurs et , l'inégalité .

III.D.3)

a) En notant , justifier l'inégalité , valable pour tout .
b) Démontrer l'inégalité .

III.D.4)

a) Soit un réel strictement positif. Justifier que la matrice est inversible et calculer la matrice .
b) Démontrer l'inégalité .
III.D.5) Comme précédemment, pour tout vecteur , on définit la suite par la condition initiale et la relation de récurrence pour tout .
En exploitant l'hypothèse et la question III.A.5b, démontrer que .
On pourra poser pour un bien choisi.

IV Méthode de Jacobi

On s'intéresse dans cette partie à l'équation , avec les notations suivantes :
  • est un vecteur inconnu;
  • est une matrice de dont aucun élément diagonal n'est nul ;
  • est un élément de .
La méthode de Jacobi consiste à calculer une solution approchée de la solution exacte de l'équation . On admettra le résultat suivant, plus fort que celui obtenu dans la partie précédente : si est une matrice de vérifiant , alors pour tout , la suite définie par la condition initiale et la relation de récurrence converge vers .
Partant d'un vecteur , on pose avec, pour tout ,
IV. - Prouver qu'il existe une matrice diagonale et inversible telle que .
IV.B - Justifier l'existence et l'unicité de , solution exacte de l'équation .
IV. - Démontrer que .
IV.D - En déduire que si la suite converge vers .
IV.E - Pour chacun des deux exemples ci-dessous, calculer et
et .
et .
IV.F - Pour chacun des deux exemples, calculer et commenter les résultats obtenus.
Centrale Mathématiques 2 TSI 2016 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa