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Centrale Mathématiques 2 TSI 2011

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Algèbre généraleAlgèbre linéaireRéduction
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Centrale
Année
2011
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TSI
Matière
Maths
Centrale TSICentrale 2011TSI MathsMaths 2011
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Notations et rappels

  • Dans tout le problème désigne un entier supérieur ou égal à 2 et un -espace vectoriel de dimension . On notera le -espace vectoriel des endomorphismes de et le sous-ensemble de formé des automorphismes de .
  • À tout , on associe sa matrice dans la base choisie dans .
On rappelle que l'application est un isomorphisme de sur le -espace vectoriel, noté , formé des matrices carrées d'ordre à coefficients complexes.
De la même façon, s'identifie, moyennant l'isomorphisme précédent, à l'ensemble des matrices carrées d'ordre qui sont inversibles.
On rappelle également que (respectivement ), muni de la composition des applications (respectivement muni du produit des matrices), possède une structure de groupe.
  • Soit . On dit que est triangulaire supérieure si dès que . On note le sous-espace vectoriel de formé des matrices triangulaires supérieures.
    Soit . On sera amené à utiliser la propriété ( T ) suivante :
    : il existe une base de telle que
  • On rappelle que, par convention : (matrice identité).
  • Soit . Alors, admet valeurs propres en comptant chacune avec son ordre de multiplicité.
  • On rappelle enfin que l'exponentielle d'un nombre complexe peut être noté ou et que, pour tout nombre complexe .

I Préliminaires : endomorphismes nilpotents, trace d'un endomorphisme

Soit .
I.A.1) Montrer que est injectif si et seulement si 0 n'est pas valeur propre de .
I.A.2) Montrer que si et seulement si 0 n'est pas valeur propre de .
I.A.3) Soit . Montrer que est inversible si et seulement si 0 n'est pas valeur propre de .
- Une matrice sera dite nilpotente s'il existe un entier strictement positif tel que : (matrice nulle).
On note le plus petit entier strictement positif vérifiant cette propriété et on l'appelle «indice de nilpotence de ».
On note l'ensemble des matrices nilpotentes de .
I.B.1) Soit la matrice de définie par :
Montrer que puis déterminer .
I.B.2) Soient et une matrice semblable à .
a) Montrer que, pour tout entier naturel et sont semblables.
b) En déduire que, si est nilpotente, l'est aussi et .
I.B.3) Soit . On suppose qu'il existe une base de telle que .
Montrer que, pour toute base de est également nilpotente et de même indice de nilpotence que .
On dira alors que est nilpotent et on notera l'indice de nilpotence de qui sera appelé aussi indice de nilpotence de .
I.B.4) Soient et son terme général.
On suppose que: .
On note le terme général de la matrice avec .
a) Montrer que et que si .
b) Montrer, plus généralement, que et que si .
c) En déduire que .
I.B.5) Soient et la matrice de dans une base appropriée de donnée par la propriété ( T ) rappelée en préliminaire.
a) En explicitant le polynôme caractéristique de , déterminer les valeurs propres de en fonction des termes diagonaux de .
b) Montrer que est nilpotent si et seulement si 0 est sa seule valeur propre.
I.B.6) Montrer qu'une matrice triangulaire supérieure est nilpotente si et seulement si tous ses termes diagonaux sont nuls.
I. Soit .
On rappelle que la trace de est le nombre complexe .
I.C.1) Soit .
Montrer que le nombre complexe ne dépend pas du choix de la base dans .
On appelle «trace de l'endomorphisme » ce nombre complexe, noté .
Ainsi on a, pour toute base de .
I.C.2) Soit . On désigne par , les valeurs propres (éventuellement égales) de .
Montrer, à l'aide de la question I.B. 5 a, que :
I.C.3) On considère le cas . Soit telle que .
Montrer que est soit diagonalisable, soit nilpotente.
I.C.4) A-t-on le même résultat lorsque ?

II Exponentielle d'un endomorphisme

Soit .
II.A - On suppose, tout d'abord, diagonalisable, et on note une base de vecteurs propres de associés respectivement aux valeurs propres . On définit alors l'endomorphisme par l'image des vecteurs de la base en posant :

II.A.1)

a) Représenter la matrice de sur la base .
b) Montrer que appartient à .
Cet endomorphisme est appelé «exponentielle de l'endomorphisme ». On admet qu'il ne dépend que de et pas de la base de vecteurs propres de utilisée pour le définir.
Si est une matrice diagonale de termes diagonaux , on note la matrice diagonale dont les termes diagonaux sont .
II.A.2) Soit . On suppose que est diagonalisable.
Soient deux matrices inversibles et deux matrices diagonales telles que:
Montrer que .
On appellera exponentielle de la matrice , la matrice notée égale à où est un couple de matrices utilisé pour diagonaliser .
II.B - On suppose maintenant que est nilpotent, d'indice de nilpotence . On considère une base de telle que , selon la propriété (T).
On pose alors :
ùé
II.B.1) Déterminer les termes diagonaux de la matrice .
II.B.2) En déduire l'ensemble des valeurs propres de puis montrer que .
L'endomorphisme est encore appelé l'exponentielle de et la matrice l'exponentielle de .
II. - On suppose enfin que satisfait à la propriété suivante :
On admettra que, si satisfait à ( P ), alors le couple ( ) donné par ( P ) est unique.

II.C.1)

a) Montrer que : .
On pose alors : et on l'appelle encore l'exponentielle de .
On désigne par le sous-ensemble de formé des endomorphismes satisfaisant à ( ).
De même, on désigne par le sous-ensemble de formé des matrices qui peuvent s'écrire avec diagonalisable, nilpotente et .
b) Montrer que, pour toute matrice de , le couple ( ) associé est unique.
On pose et on l'appelle l'exponentielle de .
II.C.2) Soient et .
Démontrer que et que .
On a ainsi défini deux applications et .
Notre but est maintenant d'étudier un peu plus précisément ces applications dans les cas et .

III Le cas

On suppose dans toute cette partie que désigne un espace-vectoriel de dimension 2 .
III. A - Soient et ses valeurs propres, le sous-espace propre associé à la valeur propre . On suppose non diagonalisable.
III.A.1) Montrer que et que .
Montrer, de plus, que . (On pourra utiliser la question I.B. 5 a).
III.A.2) Soient un vecteur n'appartenant pas à et .
Montrer que et que est une base de . Déterminer .
III.B - Pour tout couple , on définit les matrices suivantes :
On définit enfin le sous-ensemble suivant de :
Montrer que tout élément de est semblable à une matrice de .
III. - Montrer que puis calculer et pour tout couple .
III.D - Montrer que .
On admettra de même que .
L'application exponentielle est ainsi une application de dans .

III.E -

III.E.1) Soient un réel non nul et la matrice définie par :
Déterminer .
III.E.2) L'application est-elle injective ?
III.E.3) En utilisant la question III.C, montrer que toute matrice de est semblable à l'image par l'application exponentielle d'un élément de .
III.E.4) En déduire, en utilisant les questions II.C.2, III.B et III.E.3, que l'application est surjective.
III.F - Montrer que : .
III. - Soient et le sous-espace vectoriel de formé des matrices de trace nulle.
III.G.1) Montrer que est un sous-groupe de et que :
On considère maintenant la restriction .
III.G.2) Montrer, à l'aide de I.C. 3 et III.B, que tout élément de est semblable à une matrice de la forme :
III.G.3) Soit la matrice de définie par :
Montrer que et que n'appartient pas à l'image de l'application .
En déduire que n'est ni injective, ni surjective.

IV Le cas

Dans toute cette partie, on suppose que est un -espace vectoriel de dimension 3.
L'objectif est ici de montrer que l'on a encore, dans ce cas, les égalités : et .
Soient et ses valeurs propres.
- On suppose que et sont trois valeurs propres distinctes.
Montrer que .
- On suppose que .
IV.B.1) Montrer que est nilpotent.
IV.B.2) Montrer que .
On suppose que .
IV.C.1) Justifier l'existence de trois complexes et d'une base ( ) de tels qu'on ait:
IV.C.2) Étant donnés deux complexes et , on pose .
Montrer que ( ) est une base de .
IV.C.3) Montrer qu'on peut choisir et de sorte que .
IV.C.4) Représenter la matrice de sur la base ( ) ainsi obtenue.
IV.C.5) Montrer que et .
IV.D - Montrer que .
On admettra de même que . L'application exponentielle est ainsi une application de dans .
IV.E - Soient un réel non nul et définie par :
IV.E.1) Calculer .
IV.E.2) En déduire que l'application n'est pas injective.
N.B : On pourrait montrer, par un procédé analogue à celui utilisé dans le cas , que est encore surjective dans le cas .
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