Centrale Mathématiques 2 TSI 2010

L'espace est muni de sa structure euclidienne canonique, la base canonique de , notée , étant orthonormale. désigne l'ensemble des endomorphismes de .
Les parties II, III et IV sont indépendantes entre elles.

Dans toute cette partie, on étudie des endomorphismes de qui admettent une seule droite (vectorielle) stable et un seul plan (vectoriel) stable.

Rappel : un sous-espace de est stable par un endomorphisme si .
I.A - Soit . Soit un vecteur non nul de et , la droite vectorielle de vecteur directeur .
I.A.1) Montrer que est stable par si et seulement si est vecteur propre de .
I.A.2) En déduire que tout endomorphisme de admet au moins une droite stable.
I.A.3) Soit . Le résultat précédent reste-t-il vrai dans , quel que soit ?
I.B - Soit et un plan stable par . On note l'endomorphisme de induit par sur , défini par pour tout .
I.B.1) Montrer que le polynôme caractéristique de divise celui de .
I.B.2) Montrer que si possède une droite stable, alors possède au moins deux droites stables en général, sauf dans un cas particulier que l'on précisera.
I.C - Soit un espace vectoriel réel de dimension 2 et . On suppose que ne possède pas de valeur propre réelle et on note la matrice de dans une base de .
I.C.1) Soit l'endomorphisme de de matrice dans la base canonique de . Montrer qu'il existe un vecteur non nul de et vérifiant: et où .
I.C.2) Montrer que est une base de . Quelle est la matrice de dans cette base?
I.C.3) Montrer qu'il existe inversible et , tels que :

On admettra que de la même manière :
il existe inversible et tels que :

I.D -
I.D.1) Soit admettant un seul plan stable et une seule droite stable non incluse dans ce plan. Montrer qu'il existe une base de où la matrice de s'écrit :

I.D.2) Soit de matrice dans la base canonique de .

Soit un plan d'équation dans cette base, étant un vecteur non nul de .

Montrer que, si est stable par , pour tout élément de est orthogonal à . En déduire que est stable par si et seulement si est vecteur propre de l'endomorphisme de matrice dans .
I.D.3) Soit . Montrer l'équivalence des trois propositions suivantes :
i) admet une unique droite stable.
ii) admet un unique plan stable.
iii) Le polynôme caractéristique de admet une seule racine réelle soit simple, soit triple et le sous-espace propre associé est de dimension 1 .

II.A - Soit avec réels.
II.A.1) Déterminer le polynôme caractéristique de .
II.A.2) Soit , une valeur propre de . Déterminer l'espace propre attaché à cette valeur propre. Préciser en particulier sa dimension.
II.A.3) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur son polynôme caractéristique pour que soit diagonalisable.
II.A.4) Soit de matrice dans . A quelle condition admet-elle une droite stable et une seule?
II.B - Étude d'un exemple :

II.B.1) Montrer que possède un unique plan stable noté et une unique droite stable notée que l'on déterminera.
II.B.2) Montrer que , réunion de toutes les droites , est incluse dans la surface d'équation . Quelle est la nature de la surface ? Déterminer l'ensemble , complémentaire de dans .
II.B.3) Tracer la courbe intersection de ( ) et du plan d'équation . En déduire une représentation de .
II.C - On considère la surface ( ) d'équation .
II.C.1) Déterminer la nature de ( ) et l'équation du plan tangent en tout point de la surface. Vérifier que ce plan contient toujours le point (0, 0, 0).
II.C.2) Montrer que si , il existe un réel tel que le plan tangent en à soit .
II.D - On cherche ici des surfaces de possédant la même propriété que .

Soit une application de classe définie sur ouvert de à valeurs dans et soit la surface d'équation .
II.D.1) Écrire l'équation du plan tangent en un point quelconque de , le point ayant pour coordonnées et .
II.D.2) Écrire les conditions portant sur et ses dérivées premières pour qu'en tout point le plan tangent soit un des plans de la famille .
II.D.3) On note, pour fixé, .

Montrer qu'on a alors : .
II.D.4) On suppose ici .

Déterminer les fonctions telles qu'en tout point de ,

II.D.5) Déterminer les surfaces correspondant à cette condition.

On considère dans cette partie l'endomorphisme de défini pour tout de , non nul, par sa matrice dans la base canonique de .
On donne .
III.A - Déterminer le polynôme caractéristique de . Déterminer ses éléments propres.
III.B - On note, pour tout l'unique espace propre de .

Soit l'intersection de l'ensemble des droites avec le plan d'équation .
III.B.1) Montrer qu'une représentation paramétrique de est:

III.B.2) Soit l'ensemble d'équation cartésienne .

Comparer et .
III.B.3) On considère la base orthonormée

Déterminer l'équation de dans cette nouvelle base (les nouvelles coordonnées seront notées ).

Dans cette partie, on associe à tout triplet de , la matrice :

IV.A -
IV.A.1) Montrer que si est tel que , alors le vecteur est un vecteur propre de .
IV.A.2) En déduire une matrice inversible et indépendante de , telle que soit diagonale, et préciser les valeurs propres de .
IV.A.3) Soit .

Exprimer la matrice au moyen des matrices et . Préciser comment les valeurs propres de se déduisent de celles de .

IV.A.4) Soit l'endomorphisme de de matrice dans la base canonique. Donner des conditions nécessaires et suffisantes pour que ait une et une seule droite stable ainsi qu'un et un seul plan stable.
IV.A.5) Donner une expression factorisée , au moyen de deux termes réels. On pourra utiliser les résultats de la question IV.A.2).
IV.B - Montrer que est un isomorphisme d'espaces vectoriels entre et .
IV.C - Soit .
IV.C.1) Déterminer la nature de la courbe intersection de avec le plan :

selon le réel .
En déduire que est une surface de révolution, dont on précisera l'axe.
IV.C.2) À tout et dans , on associe tel que:

Comment peut-on interpréter en fonction des matrices et ? Montrer que est stable pour la loi , et que ( ) est un groupe commutatif.
IV.C.3) Soit . Pour , on pose:

Montrer est une bijection de sur .
IV.C.4) Calculer . Que peut-on en déduire?