Centrale Mathématiques 2 TSI 2009

Dans tout le problème, ( ) est un plan euclidien orienté rapporté à un repère orthonormal direct et sont points de ce plan, non contenus dans une même droite passant par .
On rappelle que, si une ellipse admet dans un certain repère orthonormal direct une équation de la forme , son aire est égale à et les points qui sont à l'intérieur de cette ellipse sont ceux dont les coordonnées dans ce repère vérifient: .
On note le plan vectoriel euclidien engendré par et .
On dira qu'une ellipse est convenable si elle est centrée en et si tous les points sont à l'intérieur de l'ellipse ou sur l'ellipse elle-même (les axes d'une telle ellipse ne sont pas nécessairement dirigés par et ).
Une ellipse convenable sera dite optimale si son aire est inférieure ou égale à celle de toute autre ellipse convenable.
Le but du problème est de prouver qu'il existe une ellipse optimale, et une seule.
Pour entier strictement positif, on note l'espace vectoriel des matrices réelles et le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de . Si appartient à , on note le coefficient de qui se trouve à la -ème ligne et à la -ème colonne.
Note : on identifie une matrice de avec son unique élément .

I.A - Soit .
I.A.1) Former le polynôme caractéristique de .
I.A.2) En déduire la somme et le produit des deux valeurs propres (réelles ou complexes) de en fonction de la trace de et du déterminant de .
I.A.3) On suppose de plus que est symétrique. Démontrer que admet deux valeurs propres réelles strictement positives si et seulement si son déterminant et sa trace sont strictement positifs.

Les résultats de la fin de cette partie I sont établis pour un entier mais ne seront utilisés, dans la suite du problème, que pour .
I.B - Soit un couple d'entiers tels que . On note la matrice, appartenant à , dont tous les termes sont nuls, à l'exception de et qui sont égaux à 1 .
I.B.1) On suppose que .
a) Il y a 6 couples tels que . Écrire les 6 matrices .
b) Démontrer que les 6 matrices précédentes forment une base de .
I.B.2) On revient au cas général : .
a) Combien y-a-t-il de matrices ?
b) Démontrer que tout est une combinaison linéaire des matrices .
c) Quelle est la dimension de ?
I.C - On identifie tout élément de à un vecteur colonne à lignes. On note le transposé d'un tel vecteur.
Soit . On lui associe la forme quadratique sur telle que

I.C.1) Pour et dans , exprimer l'unique terme de en fonction de et .
I.C.2) Pour et entiers, fixés entre 1 et , comment choisir et pour que l'unique terme de soit égal à ?
I.C.3) Soient et deux matrices dans telles que, pour tout , on ait . Démontrer que .
I.C.4) Soient et deux matrices dans . On suppose que les valeurs propres de sont strictement positives et que pour tout , tel que , on ait aussi .
Soit non nul.
a) Démontrer qu'il existe un vecteur non nul tel que , où est la matrice diagonale ayant comme termes diagonaux.
b) En déduire que est un nombre réel strictement positif.

On note ce nombre.
c) En considérant , montrer que .
d) Démontrer que .

À tout endomorphisme symétrique on associe la courbe , ensemble des points du plan tels que le produit scalaire soit égal à 1 .
II.A -
II.A.1) Démontrer qu'il existe une base orthonormale directe de telle que admette, dans le repère ( ), une équation de la forme 1.
II.A.2) Démontrer que est une ellipse si et seulement si les valeurs propres de sont deux réels strictement positifs.
II.B - Réciproquement, soit une ellipse de centre , dans le plan ( ).
II.B.1) Démontrer qu'il existe un endomorphisme de , symétrique et à valeurs propres strictement positives et tel que soit la courbe associée à .
On pourra définir cet endomorphisme par sa matrice dans une base orthonormale directe bien choisie de .
II.B.2) En utilisant le résultat de I.C-, montrer que cet endomorphisme est unique.
II.C - étant un endomorphisme symétrique de , on note la matrice de dans la base .
II.C.1) Démontrer que les trois matrices et forment une famille libre dans .
II.C.2) En déduire qu'on peut associer à un unique triplet ( ) de réels tels que la matrice s'écrive
II.C.3) Démontrer que admet deux valeurs propres réelles et strictement positives si et seulement si le triplet ( ) associé à vérifie les deux propriétés ci-dessous :

II.D - Soit une ellipse de centre , dans le plan ( ) et l'unique endomorphisme symétrique qui lui est associé (donc ).
Soit le triplet associé à (donc associé à ).
II.D.1) En se plaçant dans un repère particulier, montrer que les points qui sont à l'intérieur de ou sur elle-même sont les points du plan tels que
.
II.D.2) En déduire que ce sont les points du plan dont les coordonnées dans vérifient
,
II.D.3) En reprenant le repère particulier, exprimer l'aire de en fonction de , déterminant de dans une base orthonormale directe.
II.D.4) En déduire que cette aire est égale à .

III.A -
III.A.1) Justifier que, si les trois points sont alignés, la suppression dans l'ensemble de l'un (bien choisi) des deux points ou ne change pas l'ensemble des ellipses convenables.
On suppose donc que pour tous et distincts, ne sont pas alignés.
III.A.2) Il en résulte que les points sont tous distincts de . À chaque point on attribue alors un couple ( ) de coordonnées polaires dans le repère , avec .
Soit une ellipse de centre , associée à un triplet ( ). Démontrer que est à l'intérieur de ou sur elle-même si et seulement si

III.A.3) Quelle est la position de quand cette inégalité est une égalité?
III.B - Démontrer qu'il existe au moins une ellipse convenable.

Dans la suite de cette partie, est une ellipse convenable quelconque, fixée définitivement, associée au triplet .

III.C.1) Démontrer que pour tout , le triplet ( ) est associé à une ellipse de centre , d'aire inférieure ou égale à celle de .
III.C.2) Démontrer qu'on peut, de plus, choisir de sorte que cette ellipse soit convenable et passe par l'un des points .
On suppose, quitte à réordonner les points , que ce point est et que l'on a choisi la base orthonormale directe de sorte que .
On note le triplet associé à .

III.D.1) Démontrer que, pour tout , le triplet ( ) est associé à une ellipse , de centre , passant par et dont l'aire est inférieure ou égale à celle de .
III.D.2) Démontrer que est strictement positif pour tout de 2 à .
III.D.3) Démontrer qu'on peut, de plus, choisir de sorte que soit convenable et passe par l'un des points .
On suppose, quitte à réordonner les points , que passe par .
On note le triplet associé à .
III.E - On étudie l'ensemble des triplets ( ) qui vérifient

III.E.1) Démontrer que ce sont les triplets de la forme ( ), où et sont deux fonctions que l'on précisera.
III.E.2) Démontrer que, pour un tel triplet, est une fonction du second degré de , dont le terme de plus haut degré est .
III.E.3) Démontrer qu'un tel triplet est associé à une ellipse convenable d'aire inférieure ou égale à celle de si et seulement si appartient à un certain intervalle fermé borné non vide (que l'on ne demande pas de préciser).
III.E.4) En déduire que, parmi les ellipses convenables passant par et , il en existe une d'aire minimale.
III.F - Déduire de ce qui précède qu'il existe une (au moins) ellipse optimale et qu'elle passe par deux (au moins) des points .

Pour pouvoir raisonner géométriquement, on interprète ( ) comme les coordonnées d'un point d'un espace rapporté à un repère orthonormal (il n'y a aucun lien entre cet espace et le plan ( )).
On note l'ensemble des points de cet espace dont le triplet ( ) des coordonnées est associé à une ellipse convenable.
Pour la commodité du langage, on suppose que l'axe ( ) est vertical ascendant; on pourra donc utiliser les mots «au-dessus» et «au-dessous» pour situer un point par rapport à une surface, afin d'en déduire une description géométrique d'une partie de l'espace.
IV.A - Soit la surface d'équation dans le repère
IV.A.1) Quelles sont ses sections par les plans d'équations et ?
IV.A.2) Quelle est la nature de ?

On note l'ensemble des points de qui vérifient .
IV.A.3) Donner, sans justification, la position par rapport à des points tels que le triplet soit associé à une ellipse.
IV.B - Pour entre 1 et , on note la surface d'équation

IV.B.1) Quelle est la nature de ?
IV.B.2) Donner sans justification la position par rapport à des points de l'espace qui vérifient la relation .
IV.C -
IV.C.1) Déduire de ce qui précède une description géométrique de l'ensemble .
IV.C.2) Justifier que si deux points et appartiennent à , le milieu du segment appartient à .
Dans la suite de cette partie, est un réel strictement positif. On note la surface d'équation

et l'ensemble des points de qui vérifient .
IV.D -
IV.D.1) Quelles sont les sections de par les plans d'équations , ?
IV.D.2) Quelle est la nature de ? On demande une réponse précise mais sans justification.
IV.D.3) Représenter la partie de comprises entre les plans et .
IV.E - Soient et deux points différents de le milieu du segment et ( ) les coordonnées de .
IV.E.1) Donner, sans justification, la position de par rapport à .
IV.E.2) En déduire que .
IV.F - Déduire de ce qui précède que l'ellipse optimale est unique.

V.A - On suppose ici que l'ensemble admet un axe de symétrie passant par .
V.A.1) En utilisant le résultat de la partie IV, montrer que est également axe de symétrie pour l'ellipse optimale.
V.A.2) Application: On suppose que et que les coordonnées de et dans sont respectivement et .
a) Justifier que l'équation dans de l'ellipse optimale est de la forme

b) Déterminer et .
V.B - On suppose ici que et que ont respectivement pour coordonnées .
V.B.1) Justifier qu'on peut supprimer le point .
V.B.2) Donner un système de coordonnées polaires pour .
V.B.3) Comment s'écrivent ici les trois inégalités du III.A.2) ?
V.B.4) Démontrer qu'il n'existe pas d'ellipse de centre , passant par et et contenant .
On admet que, de même, il n'existe pas d'ellipse de centre , passant par et et contenant .
V.B.5) Exprimer en fonction de lorsque les deux premières inégalités du III.A.2) sont des égalités.
V.B.6) Pour quelle valeur de cette fonction est-elle maximale?
V.B.7) Donner une équation cartésienne de l'ellipse optimale et la tracer en s'aidant, par exemple, de la calculatrice.