Centrale Mathématiques 2 TSI 2005

Soit le plan vectoriel muni du produit scalaire usuel et orienté par la base canonique ( ) .

On notera l'origine du plan. Tout élément de peut s'interpréter comme un point de coordonnées ( ) dans le repère ( ), ou comme un vecteur de coordonnées ( ) dans la base ( ).
Pour deux vecteurs de , on note alors leur produit scalaire et leur déterminant dans toute base orthonormale directe; on désigne par l'ensemble des vecteurs de norme 1 , et pour tout , on note le repère polaire, défini par :

On rappelle qu'étant donnés et , la droite affine passant par et de vecteur directeur est l'ensemble des éléments de pouvant s'écrire , avec , c'est à dire :

On appelle alors axe du plan tout couple formé d'une droite affine , appelée support de , et d'un vecteur , vecteur directeur de de norme 1 . Un axe est ainsi une droite affine orientée. Réciproquement, chaque droite affine définit deux axes d'orientations opposées: et .

En notant l'ensemble des axes du plan , on va successivement :

On note l'espace vectoriel , muni du produit scalaire usuel et orienté par la base canonique ( ). Dans tout le problème, les lettres minuscules désigneront les objets relatifs à (points, vecteurs, droites, coordonnées), tandis que les majuscules concerneront les objets relatifs à ; on notera ainsi les coordonnées des éléments de dans la base ( ) et ( ) celles des éléments de dans la base ( ) .
I.A - Caractériser l'ensemble par une équation cartésienne en ( ), puis montrer que est un cylindre de révolution de dont on précisera l'axe de révolution, les génératrices et les parallèles.

I.B.1) On considère un axe défini par et , en posant:

Montrer que lorsque décrit la droite , le réel reste constant; on notera sa valeur.
Interpréter géométriquement ce réel à l'aide du projeté orthogonal de l'origine sur .
Montrer que où est la rotation vectorielle d'angle .
I.B.2) Soient pour , et ; considérant l'axe avec :

calculer et caractériser par une équation cartésienne en ( ).
I.B.3) Montrer que l'application définit une bijection entre et le cylindre .
Soit ; indiquer par un schéma la construction de à partir de et dans le cas .

À chaque axe de est ainsi associé bijectivement un point de . Le cylindre , image de par , devient ainsi une représentation de l'ensemble des axes. On se propose dans le reste de cette partie de déchiffrer sur cette représentation quelques propriétés géométriques relatives aux axes du plan .
I.C - Chaque partie du cylindre est l'image par la bijection d'une partie de . Caractériser précisément en termes géométriques les ensembles des axes du plan correspondant respectivement :

I.D.1) Soit, dans le plan , la rotation de centre et d'angle qui se confond avec la rotation vectorielle d'angle . Pour tout axe , on considère alors l'axe ( ), que l'on note . On définit ainsi une application de dans et il en résulte une application de dans qui à associe .

Montrer que .
En déduire que correspond à la restriction à d'un endomorphisme de l'espace vectoriel . On précisera cet endomorphisme et on en donnera la matrice dans la base ( ) .
I.D.2) On condidère l'application de dans obtenue par restriction à de la symétrie de centre (confondue avec l'endomorphisme de ). Par l'intermédiaire de , il lui correspond une application de dans . Déterminer cette application ; provient-elle d'une isométrie de , comme c'était le cas pour l'application de la question I.D.1 ?
I.E - Pour , on considère le point de et on appelle faisceau des axes passant par a l'ensemble des axes dont le support passe par ; on veut déterminer l'ensemble .
I.E.1) Caractériser par une relation entre et les éléments de appartenant à .
I.E.2) Montrer que est l'intersection de et d'un plan vectoriel de .
I.E.3) Établir que l'ensemble est une ellipse dont on précisera le centre, l'axe focal, le demi-grand axe, le demi-petit axe, la distance focale et l'excentricité.
I.E.4) Représenter sur un même schéma cette ellipse ainsi que l'intersection de avec le plan .

I.F.1) Soit maintenant un point quelconque de et le faisceau des axes passant par ; déduire des questions précédentes la nature et la position de l'ensemble .
I.F.2) Réciproquement, étant donné un plan vectoriel de , préciser selon la direction de la nature de l'ensemble .
I.F.3) Soient trois axes caractérisés respectivement par les relations .
Démontrer que leurs supports sont tous concourants ou tous parallèles si et seulement si :

I.G - On appelle cycle de tout cercle de orienté par une paramétrisation ; un axe est tangent à ce cycle si son support est tangent au cercle correspondant, avec des orientations de et concordantes.
I.G.1) Soit un plan vectoriel de et ; on considère le plan affine obtenu par translation du plan , de vecteur .
Montrer que ce procédé fournit tous les plans affines de à l'exception d'un ensemble de plans que l'on précisera.
I.G.2) On considère un tel plan affine , non vectoriel c'est-à-dire ne contenant pas l'origine .
Démontrer que est l'image par de l'ensemble des axes tangents à un cycle que l'on précisera.
Si coupe la droite en , que représente la distance ?
Préciser la nature géométrique de l'ensemble .
I.G.3) Montrer que réciproquement, tout cycle de peut être associé à un plan affine de .
I.G.4) Soit ( ) un triangle du plan ; en orientant les droites ( ), ( ) et (ca) par les vecteurs et , on obtient trois axes représentés par trois points du cylindre .
Montrer que ces trois points de définissent un plan affine de , associé à un cycle de comme en I.G. 2 et I.G.3. Quelle est la particularité de ce cycle relativement au triangle ( ) ?

II.A - On considère dans cette question la translation de , de vecteur non nul. À tout axe , on associe l'axe que l'on note . On définit ainsi une application de dans dont on déduit une application de dans qui à associe .
II.A.1) En reprenant les notations de la question I.B, exprimer en fonction de et .
II.A.2) Montrer que correspond à la restriction à d'un endomorphisme de l'espace vectoriel dont on donnera la matrice dans la base ( ) .
II.A.3) Montrer que l'ensemble des vecteurs de invariants par est un plan vectoriel que l'on précisera. L'endomorphisme est-il diagonalisable ?
II.A.4) Déterminer l'ensemble et indiquer ce qu'il représente vis-à-vis de la translation .
II.B - Soit un automorphisme orthogonal de . À tout , on associe , ce qui définit une application de dans , puis l'application de dans qui à associe .
II.B.1) Montrer que correspond à la restriction à d'un endomorphisme dont on exprimera la matrice dans la base ( ) à l'aide de la matrice de dans la base ( ).
II.B.2) Soit maintenant une symétrie orthogonale par rapport à une droite vectorielle de . L'endomorphisme de est-il diagonalisable?
Caractériser en termes géométriques. Pour chaque sous-espace propre de , interpréter vis-à-vis de la symétrie .
II.C - On rappelle que toute isométrie de peut s'écrire de manière unique sous la forme o où et sont respectivement une translation et un automorphisme orthogonal de ; avec les notations des questions II.A et II.B, on pose alors: et .
II.C.1) Montrer que l'endomorphisme ainsi obtenu a dans la base ( ) une matrice de la forme :

où désigne une matrice réelle orthogonale d'ordre 2 et ( ) un couple de réels.
Exprimer le vecteur à l'aide de et .
II.C.2) À quelle condition, portant sur et est-il diagonalisable ?

Déterminer les isométries correspondantes.
II.D - On veut maintenant étudier si d'autres endomorphismes de pourraient correspondre, par restriction à et par l'intermédiaire de , à d'autres transformations de .
II.D.1) Démontrer que toute homothétie de , de centre et de rapport correspond bien par les procédés utilisés précédemment à un endomorphisme de dont on donnera la matrice.
II.D.2) Soit un automorphisme de tel que .

Montrer que les projections orthogonales de et sur le plan XOY sont orthonormées.
En déduire que a dans la base ( ) une matrice de la forme :

où désigne une matrice réelle orthogonale d'ordre 2 et ( ) un triplet de réels.
II.D.3) Établir que les endomorphismes de , tels que et de déterminant strictement positif, correspondent aux similitudes de .
II.D.4) Que faut-il penser de ce point de vue des endomorphismes de tels que et de déterminant strictement négatif ?