Centrale Mathématiques 2 TSI 2004

Dans tout le problème, est un plan euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct ( ). On rappelle que les déplacements de sont les rotations et les translations de ce plan. On notera l'identité de .
Les matrices utilisées dans le problème sont réelles. On note l'ensemble des matrices carrées à lignes.
On désigne par la transposée de la matrice .
Si est une matrice carrée, on désigne par son déterminant et si , on convient d'appeler écriture de par blocs l'écriture

où est de la forme est de la forme , et est de la forme , avec réels.

La matrice identité de est notée .

I.A - Les matrices et leur produit appartiennent à ; on les écrit par blocs :

I.A.1) En prélevant dans les matrices et les termes utiles, calculer les deux termes de la matrice et montrer que .
Des calculs analogues prouveraient que

I.A.2) Donner sans justification l'écriture par blocs de la transposée de .

I.B.1) On suppose que le couple ( ) forme une base orthonormée de et que et sont des vecteurs propres pour une certaine matrice appartenant à . Montrer que le couple ( ) a les mêmes propriétés.
I.B.2) Soit , qu'on suppose symétrique. Justifier l'existence dans de trois matrices, et orthogonales et diagonale, telles que , où est obtenue en remplaçant dans la première colonne par son opposée.
I.B.3) En comparant det et det , montrer que l'une des deux matrices ou est de la forme

I.C - Soit une matrice de la forme précédente, différente de . Montrer que est inversible.

À tout triplet ( ) de nombres réels, on associe la matrice

et son écriture par blocs, notée

où les deux termes de la sous-matrice uniligne 0 sont nuls.
On appelle l'ensemble des matrices de la forme .

II.A.1) Calculer le déterminant de .
II.A.2) La matrice est-elle orthogonale?

II.B.1) Calculer le produit de deux matrices de . Montrer que ce produit appartient à .
II.B.2) Le triplet ( ) étant donné, comment choisir ( ) pour que le produit précédent soit la matrice identité ?
II.B.3) Montrer que, lorsqu'on le munit de la multiplication, l'ensemble est un groupe.

II.C.1) Montrer que le polynôme caractéristique de est le produit de deux polynômes à coefficients réels, que l'on précisera.
II.C.2) On suppose que .
a) Déterminer, selon les valeurs de , les valeurs propres réelles de .
b) Quelle est la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre 1 ?

Trouver un vecteur propre de la forme associé à la valeur propre 1. On donnera de une expression matricielle utilisant et .
II.D - Chaque point de est repéré par ses coordonnées dans le repère .
II.D.1) Quelles sont les coordonnées ( ) de l'image de par la translation de vecteur ?
II.D.2) Le point de et le réel sont fixés. On désigne par la rotation de centre et d'angle . Soit l'image de par .
Exprimer les coordonnées ( ) de en fonction de , et des coordonnées ( ) de .
II.D.3) Montrer que, dans II.D.2) comme dans II.D.1), on peut trouver dans une matrice , que l'on précisera dans chacun des deux cas, telle que

II.D.4)
a) Réciproquement, les réels étant donnés, calculer le produit matri .
b) Ce produit est de la forme .

Montrer que le point de , de coordonnées ( ), est l'image du point , de coordonnées , par un déplacement.
c) Lorsque ce déplacement est une rotation de centre différente de l'identité de , on pose

Dans cette partie, on introduit l'ensemble des matrices symétriques de , donc de la forme générale

Une telle matrice sera notée , ou de façon abrégée.
Soit une matrice appartenant à . On appelle transformée de toute matrice de la forme , où est une matrice appartenant à l'ensemble défini dans la partie II.
III.A - Soit une matrice appartenant à .
III.A.1) Montrer que toutes les transformées de appartiennent à .
III.A.2) Montrer que est une transformée de .
III.A.3) Montrer que si est une transformée de , alors est une transformée de .
III.A.4) Montrer que si est une transformée de et une transformée de , alors est une transformée de .

Pour les questions qui suivent, on pourra utiliser les résultats de la partie I.A.
III.B - À toute matrice , on associe les réels :

et la matrice :

III.B.1) Pour , associée à , écrire comme un produit de trois matrices.
III.B.2) En déduire que, pour toute transformée de , on a et .
III.B.3) Montrer que, pour toute transformée de , on a .

Les nombres réels sont appelés les invariants de .
Dans la suite de cette section, on se propose, en considérant divers cas pour les invariants de , de trouver, dans chaque cas, une transformée simple de .

III.C.1) Montrer que, parmi les transformées de , il y a une matrice de la forme , qu'on notera dans la suite, (on pourra utiliser I.B.3) et III.B.1)).
III.C.2) Calculer et en fonction de et .
III.C.3) Montrer que, si est nul, on peut, en précisant le choix de , faire en sorte que soit nul.
III.D - Pour , de la forme , calculer les termes non diagonaux de .
III.E - Étude des différents cas
III.E.1) Premier cas : est non nul.

Montrer que, parmi les transformées de , il y a une matrice diagonale dont le troisième terme diagonal est nécessairement .
III.E.2) Deuxième cas : est nul.
a) Premier sous-cas : et sont non nuls.

Montrer que, parmi les transformées de , il y a la matrice .
b) Deuxième sous-cas : est non nul et est nul.

Montrer que, parmi les transformées de , il y a une matrice de la forme .
c) Troisième sous-cas : est nul.

Montrer que et sont nuls.

Les coefficients réels ( ) étant fixés, on considère la courbe du plan , qui admet, dans le repère ( ) l'équation cartésienne :

Cette courbe est notée , ou , de façon abrégée.
L'ensemble des courbes est noté .
IV.A - Étude d'un exemple

On pose et .
Représenter sur un même dessin les courbes et ainsi que leurs asymptotes.
Dans la suite, on associe au point de coordonnées la matrice

et à la matrice définie dans la partie III la courbe .
IV.B - Trouver une condition nécessaire et suffisante, portant sur le produit matriciel , pour que le point soit sur la courbe associée à la matrice .
IV.C - Soit un déplacement du plan, l'image par du point et la matrice, appartenant à , définie dans II.D.3), qui est associée à .
IV.C.1) Trouver une condition nécessaire et suffisante, liant les matrices , et et leurs transposées, pour que le point soit sur la courbe associée à la matrice .
IV.C.2) En déduire que la courbe de , associée à de , est l'image par d'une courbe de , associée à une matrice de , que l'on précisera.
IV.C.3) Montrer que est, suivant la définition donnée dans la partie II, une transformée de .
IV.D - En utilisant III.E, montrer que toute courbe de est l'image, par un certain déplacement, d'une courbe de d'équation simple.
IV.E - Montrer que si est associée à la matrice , elle est aussi associée à , pour tout non nul.
Exemple : montrer, en utilisant III.E.1), que est l'image de par un déplacement que l'on ne cherchera pas à expliciter.