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Centrale Mathématiques 2 TSI 2003

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Algèbre généraleAlgèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéduction
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2003
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TSI
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Maths
Centrale TSICentrale 2003TSI MathsMaths 2003
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MATHÉMATIQUES II

Dans tout le problème, est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On note l'ensemble des matrices carrées réelles de taille et l'ensemble des matrices carrées complexes de taille .
On note la matrice transposée d'une matrice .
On note le déterminant d'une matrice appartenant à ou .

Partie I - Questions préliminaires

I.A - Soit un -espace vectoriel de dimension et deux bases de ; on note la matrice de passage de à .
Soit un endomorphisme de sa matrice sur et sa matrice sur . Exprimer en fonction de , de et de . (On ne demande pas de démonstration).
I.B - Soient et deux matrices appartenant à ; on rappelle que est dite semblable à s'il existe une matrice inversible appartenant à telle que .
Montrer que si est semblable à , alors est semblable à . On dit alors, de façon abrégée, que « et sont semblables».
I.C - Soit et trois matrices appartenant à . On suppose que est semblable à et que est semblable à .
Montrer que est semblable à .
Montrer aussi que et sont semblables.
I.D - Soit .
I.D.1) Montrer que si est diagonale, et sont semblables.
I.D.2) Montrer que si est diagonalisable, alors et sont semblables.
Plus généralement :
Le but du problème est de montrer que toute matrice appartenant à est semblable à sa transposée.

Filière TSI

Partie II - Cas

Dans cette partie, on fixe une matrice , non diagonale, qu'on écrit
àéé
où l'inconnue est une matrice appartenant à , qu'on cherchera sous la forme
II.A - Trouver un ensemble de conditions, portant sur et , qui soit nécessaire et suffisant pour que vérifie ( ).
On ramènera cet ensemble à deux conditions, l'une étant et l'autre ne portant que sur et .
II.B - En prenant l'un des deux nombres ou nul, l'autre égal à et, dans chacun des deux cas, en choisissant convenablement , trouver deux matrices solutions; montrer que l'une au moins de ces deux matrices est inversible.
II.C - Montrer que et sont semblables.

Partie III - Cas

Dans cette partie, on munit l'espace vectoriel de sa structure euclidienne usuelle. La base canonique est donc orthonormée. Le produit scalaire de deux vecteurs et est noté .
On fixe une matrice . On note et les endomorphismes de qui admettent respectivement et pour matrices sur la base canonique. On désigne par id l'endomorphisme identité et par la matrice unité d'ordre 3.
On rappelle qu'un sous-espace vectoriel de est dit stable par si, pour tout vecteur de , le vecteur appartient à .

III.A - Questions préliminaires

III.A.1) Montrer que toute fonction polynomiale de dans , de degré impair, admet au moins un zéro.
III.A.2) Montrer que les matrices et ont le même polynôme caractéristique et que ce polynôme admet au moins une racine réelle.
III.A.3) Soit ( ) une droite vectorielle de , dirigée par un vecteur .
Montrer que ( ) est stable par si et seulement si est vecteur propre de . Montrer qu'il existe au moins une droite stable par .
III.A.4) On suppose que le réel est valeur propre de , le sous-espace propre associé étant , et valeur propre de , le sous-espace propre associé étant . Comparer les rangs des matrices et . En déduire que et sont de même dimension.
III.A.5) Soient et deux vecteurs de , de matrices et sur la base canonique.
Comparer le produit scalaire et l'unique terme de la matrice .
Exprimer de façon analogue les produits scalaires et et montrer que ces deux nombres sont égaux.
III.A.6) Soit un vecteur propre de .
Montrer que le plan vectoriel orthogonal au vecteur est stable par .
III.B - Dans toute cette question, on suppose qu'il existe une seule droite, notée , stable par . On désigne par un vecteur unitaire dirigeant ( ).
III.B.1) Montrer qu'il existe une seule droite, qu'on notera ( ), stable par . Dans toute cette question III.B, on suppose que ( ) est orthogonale à ( ) et on introduit une base orthonormée ( ) de , le vecteur dirigeant ( ). Soit la matrice de sur cette base.
III.B.2) Montrer que est orthogonal à .
III.B.3) Justifier que est de la forme
III.B.4) En considérant le rang de , montrer que et sont non nuls.
III.B.5) On pose
Calculer et .
Montrer que est semblable à .

III.C - Complément

On suppose, dans cette question seulement, que
Montrer que vérifie toutes les hypothèses de III.B.
III.D - Dans cette question, on suppose que ne vérifie pas toutes les hypothèses de la question III.B.
III.D.1) Montrer qu'il existe une droite ( ) et un plan ( ) stables par , ( ) n'étant pas contenue dans ( ).
III.D.2) Montrer qu'on peut trouver un vecteur dans ( ) et deux vecteurs et dans ( ) tels que ( ) soit une base de .
Quel est l'aspect de la matrice de sur cette base?
III.D.3) Montrer, en calculant les produits et et en utilisant la partie II, qu'on peut trouver des réels et tels que la matrice
é
Montrer que est semblable à .

Partie IV - Un résultat utile pour la suite du problème

On utilise maintenant des matrices complexes.
On note le complexe usuel tel que .
IV.A - Soit une matrice appartenant à . Montrer qu'il existe un unique couple ( ) de matrices appartenant à tel que .
IV.B - Soient et deux matrices appartenant à . On suppose que ces deux matrices, considérées comme éléments de , sont semblables.
IV.B.1) Montrer qu'il existe deux matrices et appartenant à telles que et est non nul.
IV.B.2) Soit l'application de dans définie par .
Montrer, par exemple par récurrence sur , que est une fonction polynomiale. Montrer que n'est pas la fonction nulle de dans .
En déduire qu'on peut trouver un réel tel que .
IV.B.3) Montrer que les matrices et , considérées comme éléments de , sont semblables.

Partie V - Cas général

Dans cette partie, est un entier quelconque supérieur ou égal à 2 .
Soit et l'endomorphisme de dont est la matrice sur la base canonique.
V.A - Rappeler le résultat du cours sur la trigonalisation d'un endomorphisme et justifier qu'il s'applique à .
On admettra le résultat suivant, plus précis :
Soit une valeur propre de . On peut trouver une base de et un entier entre 0 et ayant les propriétés suivantes :
  • La matrice de sur est triangulaire supérieure.
  • Les premiers termes diagonaux sont tous différents de et les derniers sont tous égaux à .
    On pose , où id désigne l'identité de .
    V.B - Dans cette question, ; les termes diagonaux de sont donc tous égaux à .
    V.B.1) Montrer que, pour tout de 2 à appartient au sous-espace engendré par .
    En déduire que l'endormorphisme est nul. ( désigne l'endomorphisme composé o o , où est utilisé fois).
    Dans toute la suite de ce , on désigne par le plus petit entier supérieur ou égal à 1 tel que soit nul.
    Montrer que si , alors est semblable à .
    On continue en supposant . On a donc : et on désigne par un vecteur tel que ne soit pas nul.
    On pose .
    Montrer que la famille ( ) est libre.
    V.B.2) On suppose que .
Quelles sont les matrices de sur les bases et de ? Montrer que est semblable à .
V.B.3) On suppose que et on complète ( ) en une base de .
On note la matrice de sur cette base et la matrice carrée dont la -ième ligne est égale à la première ligne de .
Montrer que les lignes de cette matrice , à partir de la - ième, sont nulles. Que peut-on en conclure concernant le rang de ?
Pour et entre 1 et , préciser suivant que ou .
En déduire les premiers termes de la -ième ligne de .
Montrer que la matrice est de rang .
Soit l'endomorphisme admettant pour matrice sur la base ( ) de et soit le sous-espace engendré par ( ).
Montrer que pour tout , on a .
En déduire que et le noyau de sont deux sous-espaces supplémentaires de . Montrer que ces deux sous-espaces sont stables par et par .
V.C - Dans cette question, n'est pas nul.
V.C.1) Justifier que la matrice de sur la base est de la forme
où les matrices et sont triangulaires supérieures, de tailles respectives et .
Montrer que la matrice est nulle et que la matrice est inversible.
V.C.2) On admet que la matrice de sur la base est de la forme
Quel est le rang de cette matrice ? Quelle est la dimension du noyau de ?
V.C.3) Soit le sous-espace de engendré par ( ).
Montrer que et sont supplémentaires dans et que ces sous-espaces de sont stables par et .
V.D - On suppose par récurrence que toute matrice carrée complexe de taille comprise entre 1 et est semblable à sa transposée.
V.D.1) On suppose ici qu'il existe deux sous-espaces et supplémentaires dans et stables par , aucun de ces deux sous-espaces n'étant réduit au vecteur nul.
En considérant les restrictions de à et , montrer que est semblable à .
V.D.2) En rassemblant les résultats, montrer que, dans tous les cas, est semblable à .
V.E - On suppose maintenant que . Montrer que est semblable à dans .
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