Centrale Mathématiques 2 TSI 2002

Dans tout le problème, désigne le -espace vectoriel des matrices carrées à coefficients réels dont l'élément nul est noté 0 , et le sous-espace vectoriel de formé des matrices symétriques.
Si et sont deux éléments de , le produit de par est noté , la matrice transposée de A est notée .
D'autre part, on note l'application de dans qui à fait correspondre la matrice

On rappelle aussi que est linéaire et bijective.

Pour tout élément de , s'écrivant , on définit la trace de par :

I.A - Dans cette question, on définit une structure euclidienne sur .

À toute matrice de , on associe sa trace : on définit ainsi l'application trace notée tr de dans .
I.A.1) Montrer que l'application trace est linéaire de dans .

Comparer pour , les réels et , puis et .
I.A.2) On pose

Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur .
Pour toute la suite du problème, on pose :

On note également l'élément unité de .

I.B - Montrer que la famille est une base orthonormée de pour ce produit scalaire.
En déduire une base orthonormée de .
I.C - Étude de la forme «déterminant» sur

À toute matrice de , on associe son déterminant : on définit ainsi une application notée det de dans .
I.C.1) On pose

Exprimer en fonction de .
I.C.2) Montrer que det est une forme quadratique sur , dont on précisera la matrice dans la base , avec :

On se propose dans cette partie de déterminer les applications q de dans telles que o soit une forme quadratique non nulle sur et qui vérifient

pour tout couple de matrices .
II.A - Donner un exemple d'application solution du problème exposé au début de la partie II.
Dans les questions suivantes de la partie II, q est une application de dans telle que est une forme quadratique non nulle sur et qui vérifie (1).
II.B - Calculer .
II.C - Montrer que si le rang de est égal à est non nul.
II.D - On suppose dans cette seule question que est une matrice de rang égal à 1 . Soit l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est égale à .
II.D.1) Montrer qu'il existe une base de telle que le noyau de (noté ) soit engendré par (c'est-à-dire ), puis qu'il existe un vecteur tel que soit une base de .
En déduire que l'on peut trouver deux matrices et inversibles telles que

II.D.2) En déduire que .
II.E - Expliquer pourquoi on peut ainsi conclure que est une matrice inversible si et seulement si
II.F - Soit une matrice fixée de que l'on supposera trigonalisable, dont les valeurs propres sont notées et (éventuellement confondues). On pose

On notera d'autre part l'application de dans définie par

Par extension des notions vues en cours, si l'application q est dite «forme quadratique » sur alors est dite «forme polaire» associée à .
II.F.1) Montrer que est une fonction polynomiale dont on précisera le degré et les racines.
II.F.2) Exprimer en fonction de et . Quelles sont les racines de l'équation ? En déduire que .
II.G - Soit

une matrice quelconque de .
II.G.1) Donner un exemple de matrice pour laquelle on ne peut pas appliquer la méthode de la question II.F.
II.G.2) Calculer en fonction de lorsque . On pourra utiliser la méthode du pivot de Gauss et son interprétation en terme de produits matriciels pour trigonaliser .
II.G.3) On suppose et . Calculer le produit

II.G.4) En déduire une formule de en fonction de valable pour toute matrice .

Dans ce qui suit, est rapporté au repère orthonormé direct les matrices ayant été définies à la partie . Les matrices sont donc ici considérées comme des point de l'espace affine euclidien . Pour tout réel , on note l'ensemble des matrices de dont le déterminant est égal à .

III.A - Montrer que est une quadrique et préciser son équation cartésienne dans R.
III.B - Dans cette question, .
III.B.1) Montrer que par tout point de , passe une droite contenue dans .
III.B.2) Soit . Déterminer l'équation cartésienne du plan tangent à en , et vérifier qu'il contient .
III.C - Dans cette question .
III.C.1) Déterminer et tracer la projection orthogonale de sur le plan .
III.C.2) Déterminer et tracer la projection orthogonale de sur le plan .
III.C.3) Montrer que contient au moins deux droites strictement parallèles (on pourra exploiter III.C.2).
III.D - Équation réduite de
III.D.1) Déterminer une équation réduite de sous la forme

On précisera et à l'aide de et on notera Les coordonnées de dans ce nouveau repère.
III.D.2) Reconnaître la surface selon les valeurs de .

On s'intéresse dans cette partie aux applications de dans qui vérifient le groupe des propriétés suivantes, appelé P :

IV.A - Dans cette question, on s'intéresse au cas général, et est une application vérifiant la propriété P .
IV.A.1) Montrer que :
a) ;
b) ;
c) .
IV.A.2) Montrer que pour toute matrice est inversible si et seulement si est inversible. En déduire .
IV.B - Dans cette question, on étudie un exemple d'application . Soit une matrice de (c'est-à-dire telle que ) s'écrivant : .
On définit l'application de dans par: .
IV.B.1) Montrer que vérifie la propriété P si et seulement si .

On suppose dans les questions IV.B. 2 à IV.B. 5 que vérifie la propriété P et que est distinct de et de .
IV.B.2) Montrer que est une matrice orthogonale symétrique et en déduire qu'il est possible d'exprimer les valeurs de en fonction d'un seul paramètre . En déduire .
IV.B.3) Montrer que décrit un cercle de dont on précisera le plan à l'aide de deux vecteurs directeurs, ainsi que le centre et le rayon.
IV.B.4) Soit . Calculer la norme euclidienne de en fonction de la norme de (norme associée au produit scalaire défini à la partie I). En déduire que est une symétrie orthogonale.
IV.B.5) Étude de la restriction de à (que l'on notera encore ).
a) Montrer que est la réflexion par rapport à un plan que l'on précisera en fonction de et de .
b) Déterminer la matrice de la restriction de à dans la base orthonormée de , avec et .
IV.C - On revient à nouveau au cas général étudié au IV.A. L'application vérifie donc la propriété P .
IV.C.1) Montrer que l'application de dans , est une «forme quadratique» non nulle sur c'est-à-dire que det est une forme quadratique non nulle sur .
IV.C.2) En déduire que , puis que l'application laisse globalement invariantes toutes les surfaces pour .
IV.C.3) En écrivant la matrice la plus générale de dans la base orthonormée où et ont été définis à la question IV.B.5.b), on remarquera que avec , et en écrivant que pour tout de ,
, démontrer qu'il existe et tels que la matrice de dans B soit de la forme :

IV.C.4) On suppose . On considère l'application avec

a) Montrer que l'application vérifie la propriété et déterminer sa matrice dans B .
b) Quelle est la matrice dans B de l'application qui à associe ? En déduire la valeur de et montrer que .
IV.C.5) On suppose et on considère toujours la matrice

En considérant l'application , montrer qu'il existe une matrice , que l'on déterminera, telle que .