Le conditionnement d'une matrice est un réel qui mesure les erreurs d'approximation commises lors de la résolution d'un système linéaire dont les données ne sont pas connues avec précision. Plus ce réel est grand, moins le résultat est fiable. L'objectif de ce problème est de montrer que certaines matrices (appelées matrices de Hankel) ont un conditionnement qui croît exponentiellement avec leur taille.

Notations :

désigne un entier supérieur ou égal à 2 . (IR) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients réels, l'ensemble des matrices inversibles d'ordre et l'élément unité de .
IR est muni de son produit scalaire canonique que I'on notera <.,.> . L'ensemble (IR) des matrices réelles à lignes et une colonne sera identifié à .
La norme associée sera notée ..
La base canonique de est notée .
Si , on notera ses coefficients.
Si sont des vecteurs de , on notera la matrice de dont la i -ème colonne est le vecteur , pour .
Si A est une matrice, on notera A* sa transposée.

Question préliminaire: Soit

symétrique.

On dit que est positive si et seulement si .
On dit que est définie positive si et seulement si , .
Montrer qu'une matrice symétrique positive(resp. définie positive) a ses valeurs propres positives (resp. strictement positives).

Filière TSI

Partiel - Norme N sur

I.A - Soit

une matrice de

. Montrer que l'on peut définir le réel

et que l'on a alors

.
I.B - Montrer que

est une norme sur

et que l'on a

I.C - Soit

des vecteurs de IR

. Montrer que

I.D - Soit v un vecteur de

. Montrer que

I.E - Soit

. Montrer que

est symétrique positive et en déduire que

où

désigne la plus grande valeur propre de

.
I.F - En déduire que:

Partie II - Conditionnement

, on appelleconditionnement de

leréel

.
II.A - Soit

telle que

. On pose

. Montrer quela suite (

) converge et en déduire que

est inversible.
II.B - Soit

. En remarquant que

montrer que cond

.
II.C - Soit

où

est le projecteur orthogonal sur

. On pose

. Montrer que

n'est pas inversible et en déduire que

Partie III - Matrices de type VDM

On appelle matrice de type VDM une matrice de la forme

ù

On a donc

pour tout

.
On suppose dans cette partie que A est inversible et que

. On note

, de sorte que

. On note enfin

où

est le projecteur orthogonal sur

III.A - Montrer que

et en déduire que pour tout polynôme

de degré

, unitaire, à coefficients réels

III.B - Montrer que pour tout polynôme

de degré

, unitaire, à coefficients réels

III.C - On définit la suite

de polynômes par

Montrer que

et en déduire que

III.D - Déterminer le degré et le coefficient dominant de

pour tout

.
III.E - En déduire que

On admet que lorsque les

sont quel conques, on a

Partie IV - Matrices de Hankel

IV.A - Soit

. En appliquant le procédé d'orthonormalisation de Schmidt aux colonnes de

, montrer qu'il existe une matrice

orthogonale et une matrice

triangulaire supérieure telles que

.
IV.B - Soit

symétrique définie positive. Montrer qu'il existe

telle que

et en déduire qu'il existe une matrice

triangulaire supérieure inversible telle que

On appelle matrice de Hankel une matrice de la forme

ù é

On a donc

A est symétrique et on suppose qu'elle est définie positive. On considère donc

triangulaire supérieure telle que

.
IV.C - On note

. Exprimer

à l'aide des coefficients de

et de

et en déduire que

IV.D - Montrer que

IV.E - Montrer qu'il existe

telle que

IV.F - Montrer que

et en déduire que

IV.G - Montrer que pour tout

de Vect

on a

IV.H - En déduire que

est symétrique.
IV.I - En diagonalisant

, montrer qu'il existe une matrice orthogonale

et une matrice

detypeVDM telles que

.
IV.J - En déduire que le conditionnement d'une matrice de Hankel A définie positive vérifie cond

.
IV.K - Un exemple : en considérant sur

(ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à

) le produit scalaire

montrer que la matrice

est une matrice de Hankel définie positive.