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Centrale Mathématiques 2 PSI 2024

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsIntégrales à paramètresProbabilités finies, discrètes et dénombrementIntégrales généralisées
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Centrale
Année
2024
Filière
PSI
Matière
Maths
Centrale PSICentrale 2024PSI MathsMaths 2024
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Autour de la série harmonique et de la constante d'Euler

Dans toute ce problème, on désigne par la suite dont le terme général est donné par :
Le but de ce problème est dans un premier temps de s'assurer de la convergence de la suite , puis d'essayer de déterminer différentes expressions de sa limite, à l'aide d'intégrales.

I Convergence de la suite .

Q 1. Déterminer un équivalent lorsque tend vers de la différence , puis déterminer la nature de la série numérique .
Q 2. Montrer que la suite est convergente vers un réel que l'on notera pour toute la suite du problème, puis que:

II Application au problème du collectionneur de vignettes

Pour augmenter ses ventes, un industriel de l'agro-alimentaire qui commercialise des paquets de céréales pour le petit déjeuner décide d'insérer au fond du paquet une figurine de sportifs célèbres. Le modèle de figurine inséré dans le paquet est choisi de manière équiprobable parmi modèles de référence.
Pour différencier les modèles de figurines et les identifier de manière unique, on considèrera que chaque modèle de figurine porte un numéro unique entre 1 et .
Chaque paquet de céréales contient ainsi une figurine à collectionner, que l'on ne découvre qu'à l'ouverture du paquet. On se demande combien un consommateur, que l'on va appeler ici le " collectionneur ", doit ouvrir de paquets pour posséder au moins un exemplaire de chacune des figurines.
On décompose ce nombre de paquets en où est le nombre de paquets supplémentaires nécessaires pour obtenir figurines différentes quand on en a déjà différentes.
Dans tout ce qui suit, on désignera par lévénénement "le collectionneur découvre dans le paquet la figurine numérotée
Q 3. Déterminer la loi de .
Q 4. Soit . Quelle est la probabilité de l'événement : "le collectionneur obtient toujours la même vignette au cours de ses premiers achats" ?
En déduire que: .
Q 5. Déterminer alors la loi de .
Q 6. Soit . Justifier que suit une loi géométrique, dont on précisera le paramètre.
Q 7. En déduire l'espérance de la variable aléatoire et établir que :
Q 8. Justifier l'indépendance des variables aléatoires .
Q 9. On rappelle par ailleurs que la série est convergente et que . Démontrer que admet une variance et que: .
Q 10. Soit . Démontrer que .
Q 11. Soit . Démontrer que .

III Une première expression intégrale de

On admettra le résultat suivant : pour tous réels et strictement positifs, l'intégrale est convergente, et on a .
Q 12. Démontrer que: .
Q 13. En déduire que: .
Q 14. Montrer que l'intégrale est convergente et que l'on a:

IV Une deuxième expression intégrale de

Q15. Soit . Étudier la continuité en 0 de la fonction .
Q16. Soit . En remarquant que: exprimer à l'aide d'une intégrale puis à l'aide d'un changement de variable affine, établir que :
Q 17. Soit . Déterminer la limite sous forme d'une intégrale quand tend vers de la suite dont le terme général est .
Q 18. On considère la suite de fonctions définie par :
Déterminer la limite simple de la suite de fonctions .
Q 19. Démontrer que l'on a : .
Q 20. Établir la convergence de l'intégrale .
Q 21. Justifier l'intégrabilité sur des fonctions définies dans la question précédente.
Q 22. Établir la convergence, puis déterminer la limite sous forme d'une intégrale quand tend vers , de la suite de terme général
Q 23. Établir la convergence de l'intégrale .
Q 24. À l'aide de l'inégalité des accroissements finis, montrer que :
Q 25. Établir la convergence, puis déterminer la limite sous forme d'une intégrale quand tend vers , de la suite de terme général
Q 26. En déduire que : .

V Deux autres expressions intégrales de

Sous réserve que cela ait du sens, on appelle fonction la fonction donnée par :
On désignera par la fonction de deux variables définie par :
Q 27. Montrer que est définie sur l'intervalle .
Q 28. Montrer que est de classe sur et donner une expression de sa dérivée.
Q 29. Établir que: .
Q 30. On admet la formule de Weierstrass :
À l'aide de la série de fonctions , montrer que :
Q 31. En déduire que , et calculer alors .
Q 32. À l'aide d'un changement de variables, montrer que l'on a .

VI Recherche d'une valeur approchée de

Dans toute cette partie, désigne un réel strictement positif.
Q 33. Démontrer que : .
Q 34. Établir la convergence de la série numérique , puis en donner sa somme à l'aide d'une intégrale.
Q 35. Démontrer que:
Q 36. Déterminer l'expression d'un polynôme de degré 2 à coefficients réels tel que :
Q 37. Soit tel que . Justifier alors que :

VII Étude d'une série entière aux bornes de son disque ouvert de convergence

L'objet de cette partie du problème est d'étudier le comportement de la somme de la série entière de la variable réelle aux bornes de son intervalle ouvert de convergence.
VII.A - Rayon de convergence et première expression de la somme.
Q 38. Démontrer que la série entière , est de rayon de convergence égal à 1 , puis préciser le domaine de définition de la fonction .

VII.B - Étude de f en 1.

Q 39. Déterminer la limite de lorsque tend vers 1 par valeur inférieure.
Q 40. Déterminer le rayon de convergence de la série entière de la variable réelle dont on note alors sa somme.
Q 41. À l'aide des deux séries entières et montrer que :
Q 42. Montrer qu'il existe tel que: .
Q 43. En déduire que .

VII.C-Étude de fen-1.

On considère la suite dont le terme général est donné par :
Q 44. Montrer que le rayon de convergence de la série entière de la variable réelle , dont on note alors sa somme, est égal à 1, puis préciser le domaine de définition de .
Q 45. Montrer que la série numérique converge vers la constante .
Q 46. La fonction est-elle continue en 1 ?
Q 47. Montrer que :
Q 48. On rappelle que la série est convergente et que .
Montrer que .
On pourra au préalable déterminer une relation entre et sur un intervalle de que l'on précisera.
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