Centrale Mathématiques 2 PSI 2023

Ce problème propose de démontrer un raffinement de la formule de Stirling et de l'appliquer à l'étude des marches aléatoires sur .

Le but de cette partie est de calculer l'intégrale dite de Gauss: .
Q 1. Montrer que l'intégrale est absolument convergente.
On étudie les fonctions et définies par

Q 2. Montrer que est définie sur et qu'elle est paire. Calculer .
Q 3. Montrer que est de classe sur et donner l'expression de .
Q 4. Montrer que est définie et de classe sur .
Q 5. À l'aide d'un changement de variable affine, montrer que

Q 6. Vérifier que

Q 7. En déduire , puis conclure que .

Dans cette partie, on propose de démontrer un raffinement de la formule de Stirling. On va prouver l'existence d'une suite convergente vers 0 telle que

II. Pour , on pose .

Q 8. Montrer que la suite est bien définie.
Q 9. Donner une relation entre et , et en déduire que ! pour tout entier naturel .
II.B - Cette sous-partie est consacrée à la démonstration de la formule de Stirling classique

Q 10. Si est un entier naturel non nul, déduire de la question précédente que

On note la fonction indicatrice de l'intervalle dont on rappelle qu'elle vaut 1 sur et 0 sur . On pose pour et .

Q 11. Démontrer que la suite de fonctions converge simplement sur et, pour , préciser . Pour on pose .

Q 12. Justifier que est prolongeable en une fonction continue sur que l'on convient de noter également .

Q13. Démontrer que, pour tout .
Q 14. En déduire que est une fonction décroissante sur et démontrer que pour tout ,

Q 15. Déduire des questions précédentes la formule de Stirling (II.1).
II.C - Pour raffiner la formule de Stirling, on introduit les suites réelles et définies par :

Q 16. Vérifier que et en déduire la nature de la série numérique .
II.C.1) Soient une suite réelle positive et une suite réelle strictement positive, telles que et la série numérique converge.

Q 17. Soit . Montrer qu'il existe un entier naturel non nul tel que

Q 18. En déduire que la série numérique converge et que les restes vérifient .
II.C.2) Si est un entier naturel non nul, on pose .

Q 19. Pour tout , établir que .
Q 20. En déduire un équivalent simple de lorsque .
II.C.3)

Q 21. Déduire des questions précédentes un équivalent de lorsque .
Q 22. En déduire qu'il existe une suite convergente vers 0 telle que

Un point se déplace sur un axe gradué. Au départ, il se trouve à l'origine et à chaque étape il se déplace suivant le résultat du lancer d'une pièce de monnaie qui n'est pas supposée équilibrée.

Le déplacement du point est formalisé de la manière suivante. Dans l'espace probabilisé ( ), on considère une suite de variables aléatoires à valeurs dans , indépendantes, et telles que, pour tout ,

Les variables aléatoires représentent les résultats des lancers successifs de la pièce de monnaie.
L'abscisse du point à l'issue du -ième lancer est alors définie par:

On admet que, si est une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi alors, pour tout , quel que soit l'entier compris entre 1 et , les variables aléatoires et suivent la même loi.

On se propose de calculer la probabilité que le point ne revienne jamais à l'origine.
On remarque que le point ne peut revenir à l'origine (i.e. ) qu'après un nombre pair de lancers de la pièce de monnaie (i.e. ).

On introduit alors les suites et définies par et

et les séries entières

Q 23. Quelle est la loi de la variable aléatoire ? En utilisant une loi binomiale, calculer l'espérance et la variance de la variable .
Q 24. Écrire une fonction Python qui prend en argument le nombre de lancers et renvoie le nombre de retours au point à l'origine.

On pourra utiliser la fonction Python random.random() qui renvoie un nombre flottant pseudo-aléatoire dans l'intervalle .
Q 25. Vérifier que pour tout .
Q 26. En déduire le rayon de convergence de la série entière .
Q 27. Pour quelles valeurs de l'expression est-elle définie en ?
Q 28. En utilisant le développement en série entière en 0 de déterminer une expression de .

Q 29. Pour , en décomposant l'événement selon l'indice de 1 er retour du point à l'origine, établir la relation .

Q 30. En déduire une relation entre et et préciser pour quelles valeurs de elle est valable.

Q 31. Conclure que pour dans un intervalle à préciser.
Q 32. Pour quelles valeurs de l'expression obtenue à la question précédente pour est-elle définie en ? Qu'en est-il de l'expression qui définit comme somme d'une série entière ?

Q 33. En déduire que la probabilité de l'évènement «le point ne revient jamais en 0 » est égale à .

Dans cette partie, on reprend les notations de la partie III et on se place dans le cas particulier . Dans ce cas tous les «chemins » de la marche aléatoire sont équiprobables : pour ,

Pour , on s'intéresse désormais au moment de la dernière visite en 0 de la marche aléatoire au cours des premiers pas, c'est-à-dire à la variable aléatoire définie par

On admet dans la suite que est une variable aléatoire discrète, définie sur le même espace probabilisé ( ) que la suite de variables aléatoires .

Si est un réel, on note sa partie entière.
IV.A - Pour , on appelle chemin de longueur toute ligne polygonale reliant les points ( ), .

Dans cette sous-partie IV.A, et sont des entiers naturels tels que et .
IV.A.1) On note le nombre de chemins reliant le point ( 0,0 ) au point ( ).

Q 34. Vérifier que si et est un entier pair alors

et que dans le cas contraire.
Q 35. En déduire .
Q 36. Retrouver ce résultat à l'aide d'une variable aléatoire bien choisie.

Q 37. Montrer que le nombre de chemins reliant à , tout en passant au moins une fois par un point d'ordonnée 0 , est égal au nombre de chemins quelconques reliant ( ) à ( ).

Q 38. En utilisant le principe de réflexion, montrer que le nombre de chemins reliant ( 1,1 ) à ( ) sans jamais rencontrer l'axe des abscisses est égal à

Q 39. En déduire que pour tout

Q 40. En remarquant que , démontrer que

puis que

IV.B - Soit .

Q 41. Montrer que pour tout

Q 42. En déduire que pour

IV.C - Dans cette sous-partie IV.C et sont deux réels tels que .

Q 43. On définit la fonction par
En utilisant des sommes de Riemann adaptées à , montrer que

Q 44. À l'aide de la partie II justifier qu'il existe une suite convergente vers 1 telle que

Q 45. En déduire que

Q 46. Montrer alors que

Ce résultat a des conséquences assez surprenantes au premier abord. Par exemple s'interprète ainsi: si deux personnes parient chacune un euro chaque jour de l'année à un jeu de hasard équilibré, alors avec la probabilité , un des deux joueurs sera en tête du premier juillet au 31 décembre.