Centrale Mathématiques 2 PSI 2022

Ce problème propose d＇étudier quelques propriétés d＇un opérateur intégral défini sur un espace préhilbertien réel ．Cet espace et son produit scalaire sont introduits dans la partie II et l＇opérateur est étudié dans la partie III．Dans la partie IV，on s＇intéresse à l＇étude d＇une famille d＇équations différentielles à un paramètre pour lesquelles on recherche des solutions développables en séries entières．Enfin，la partie V fait le lien entre les vecteurs propres de l＇endomorphisme et les solutions des équations différentielles trouvées dans de la partie IV．

－Les parties I et II sont très largement indépendantes à l＇exception de la définition de la fonction ．
－La partie III utilise les résultats de la partie II ainsi que la condition d＇appartenance à établie dans la partie I．
－La partie IV fait ponctuellement appel à l＇espace défini et étudié dans les parties I et II．Elle est indépen－ dante de la partie III．
－La partie V utilise les résultats des parties III et IV ainsi que le résultat de la question 3.

On note l＇ensemble des fonctions continues de dans telles que l＇intégrale converge．
Pour ，on note la fonction ．

Q 1．Montrer que，pour tout appartient à ．
Q 2．Soit une fonction polynomiale non identiquement nulle à coefficients réels．Montrer que la restriction de à appartient à si et seulement si ．
Q 3．Soient et deux nombres réels．Montrer que la fonction appartient à si et seulement si ．
Q 4．Montrer que，pour tout ，la fonction est intégrable sur ．
Q 5．Pour tout et tout ，on note où désigne le plus petit des réels et ．Représenter graphiquement la fonction ．Montrer que appartient à ．

Dans cette sous－partie，on suppose que est une fonction de dans de classe vérifiant

Q 6．Pour ，on pose ．Montrer que est de classe sur ，que et que，pour tout ．En déduire que pour tout ．
Q 7．Montrer que，pour tout ．
Q 8．En déduire que ．

Q 9. Montrer que, si et sont deux fonctions de , alors l'intégrale est absolument convergente.
Q 10. En déduire que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions continues sur à valeurs dans .
Pour toutes fonctions et , on pose, .
Q 11. Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur .
La norme associée à ce produit scalaire est donc définie pour toute fonction par

Q 12. Montrer que . On rappelle que, pour tout .
Q 13. Montrer que, pour tout .
Q 14. On rappelle que les fonctions ont été définies dans les notations en tête de sujet. La famille est-elle une famille orthogonale de ?

À chaque fonction , on associe la fonction définie pour tout par

Q 15. À l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que pour toute fonction ,

Q 16. Montrer que pour toute fonction et pour tout ,

Q 17. Soit . Montrer que est de classe sur et vérifie, pour tout ,

Dans la suite, pour alléger les notations, la dérivée de la fonction est notée .
Q 18. Soit . Montrer que est de classe sur et que la fonction est solution sur de l'équation différentielle

Q 19. Montrer que pour tout et pour tout ,

Q 20. Déduire de ce qui précède que est un endomorphisme de et que, pour tout et tout ,

Q 21. En déduire que

Q 22. Montrer que est injectif.
Q 23. L'endomorphisme est-il surjectif ?
III. B - On fixe deux fonctions et de . Pour , on pose

Q 24. Vérifier que est une primitive de sur l'intervalle .
Q 25. Montrer que pour tout .
Q 26. Montrer que pour tout .
On pourra utiliser la question 19.
Q 27. Montrer l'existence et calculer les valeurs des limites en 0 et en de la fonction .
Q 28. Montrer que .
Q 29. En déduire que .

Pour on note ( ) l'équation différentielle sur

Q 30. Soient et une suite de nombres réels. On suppose que la série entière a un rayon de convergence infini. Montrer que la fonction est solution de si et seulement si

Q 31. Montrer que ( ) possède des solutions polynomiales non identiquement nulles si et seulement si . Montrer qu'alors, les solutions polynomiales non nulles de ( ) sont de degré et appartiennent à l'espace vectoriel .

On ne demande pas de déterminer explicitement les solutions polynomiales lorsqu'elles existent.
Dans la suite de cette sous-partie, on fixe et on considère un polynôme tel que la fonction polynomiale soit solution de l'équation ( ). L'objectif est de déterminer une expression simple de en fonction du paramètre .
Pour tout , on note .
Q 32. Montrer que la fonction est solution de l'équation différentielle sur .
Q 33. Justifier que la fonction est développable en série entière sur .
On note la suite des coefficients du développement en série entière de . Ainsi, pour tout , . On peut montrer, de la même façon qu'à la question 30 (cette démonstration n'est pas demandée), que ces coefficients vérifient

Q 34. Établir que, pour tout .

Q 35. On pose . Justifier que est développable en série entière et déduire de la question 34 que, pour tout ,

où est une constante réelle dont on précisera l'expression en fonction de et de .

Dans toute cette sous-partie, on fixe un réel non nul et on suppose que .
Q 36. Justifier l'existence de suites non identiquement nulles telles que la série entière ait un rayon de convergence infini et telles que la fonction soit solution de ( ).
On fixe une telle série entière et on pose pour ,

Q 37. Montrer qu'il existe un entier naturel tel que, pour tout entier ,

Q 38. En déduire que, pour tout entier .
Q 39. Montrer que la fonction n'est pas un élément de .
Q 40. En déduire enfin que la fonction n'est pas un élément de .

Q 41. Le nombre réel 0 est-il valeur propre de ?
Q 42. Soit . On suppose que est valeur propre de . Soit un vecteur propre associé. Montrer que est solution de l'équation différentielle ( ).
On suppose que est développable en série entière sur , c'est-à-dire qu'il existe une série entière de rayon de convergence infini telle que

Q 43. Montrer que les seules valeurs propres possibles de sont de la forme avec .
Q 44. Soit une solution polynomiale non nulle de . Démontrer que la fonction vérifie sur l'équation différentielle .
Q 45. Montrer que est un vecteur propre de pour la valeur propre .
Q 46. Pour tout entier et tout , on pose , où . On rappelle que est une fonction polynomiale de degré et que . Montrer que les polynômes sont deux à deux orthogonaux dans .