Centrale Mathématiques 2 PSI 2021

L'objectif du problème est l'étude de suites, séries et fonctions dites hypergéométriques et d'en donner quelques exemples en analyse et en probabilités.

La partie I introduit la notion de suites et séries hypergéométriques. La partie II, indépendante de la partie I, définit la fonction , permettant d'étendre la factorielle à des valeurs non entières. La partie III, qui s'appuie sur certains résultats des deux premières parties, introduit deux familles de fonctions hypergéométriques. Les parties IV et V, indépendantes l'une de l'autre, donnent des exemples de fonctions hypergéométriques, respectivement dans le cadre d'une famille de polynômes et dans un contexte probabiliste.

Soit . On note le coefficient binomial parmi , égal à si et égal à 0 sinon.
On note l'ensemble des réels qui ne sont pas des entiers négatifs ou nuls.
Si est une fonction de classe , les deux notations et sont utilisées pour la dérivée -ième de .

Soit une suite à valeurs réelles. On dit que la suite est hypergéométrique lorsqu'il existe deux polynômes non nuls et de tels que

On dit alors que et sont des polynômes associés à la suite hypergéométrique .
On dit également qu'une série entière est une série hypergéométrique lorsque la suite est hypergéométrique.

Q 1. Montrer qu'une suite géométrique est hypergéométrique.
Q 2. Soit . Montrer que la suite de terme général est hypergéométrique.
Q 3. Démontrer que l'ensemble des suites vérifiant la relation (I.1), avec

est un espace vectoriel dont on précisera une base et la dimension.
Q 4. Soit une suite hypergéométrique de polynômes associés et . On suppose qu'il existe un entier naturel tel que et, . Justifier que la suite est nulle à partir d'un certain rang.

On pose, pour tout ,

Q 5. Justifier qu'on définit ainsi une fonction sur .
Q 6. Montrer que la fonction est continue et strictement positive sur .
Q 7. Montrer que, pour tout ,

Q 8. Déterminer la valeur de , pour .
On admet qu'on peut prolonger la fonction sur par une fonction continue, toujours notée , qui vérifie la relation (II.1) pour tout .

On définit le symbole de Pochhammer, pour tout nombre réel et tout entier naturel par

Q 9. Si est un entier négatif ou nul, justifier que la suite est nulle à partir d'un certain rang.
Q 10. Soit . Vérifier que, pour tout entier naturel .
Q 11. Soit . Donner une expression de

Étant donné trois nombres réels et , on appelle fonction hypergéométrique de Gauss associée au triplet ( ), la fonction, définie sur un sous-ensemble de , par

Q 12. Justifier que, si , alors est bien défini pour tout entier naturel .
On suppose cette condition vérifiée dans les questions suivantes.
Q 13. Montrer que la série entière est hypergéométrique et préciser des polynômes associés.
Q 14. Réciproquement, démontrer que l'ensemble des séries hypergéométriques associées aux polynômes obtenus à la question précédente est un espace vectoriel dont on donnera une base et dont on précisera la dimension.

Q 15. Déterminer le rayon de convergence de la série entière .

Q 16. Justifier que est de classe sur . Calculer sa dérivée et l'exprimer à l'aide d'une fonction hypergéométrique de Gauss.

Q 17. Justifier que est de classe sur et exprimer sa dérivée -ième à l'aide d'une fonction hypergéométrique de Gauss.

Q 18. Exprimer la fonction à l'aide de fonctions usuelles.
Q 19. Exprimer la fonction

à l'aide d'une fonction hypergéométrique de Gauss.
On admet, en cas d'existence de toutes les quantités présentes dans l'expression suivante, que

Q 20. Soient tels que . Justifier l'existence de et démontrer que

Q 21. Soit tels que . En prenant et , montrer l'identité de Vandermonde :

On admet pour la suite que l'identité de Vandermonde reste valable pour tous entiers naturels .
Q 22. Donner une interprétation combinatoire de l'identité de Vandermonde.

Soient deux nombre réels et tels que .
Q 23. Déterminer les solutions développables en série entière de l'équation différentielle

On exprimera ces solutions à l'aide du symbole de Pochhammer et on précisera la structure algébrique de leur ensemble.

On note la solution de l'équation (III.1) vérifiant . Cette fonction est appelée fonction hypergéométrique confluente associée au couple ( ).

Soit . On pose, pour tout nombre réel ,

Q 24. Déterminer et .
Dans toute la suite, est un entier naturel non nul.
Q 25. En utilisant la formule de Leibniz, démontrer que la fonction est polynomiale de degré . Déterminer les coefficients tels que .

Q 26. Pour tout nombre réel , exprimer et en fonction de et .
Q 27. Utiliser l'égalité , que l'on justifiera, pour démontrer l'égalité

valable pour tout nombre réel .
Q 28. Utiliser l'égalité pour démontrer l'égalité

valable pour tout nombre réel .
Q 29. En déduire que est solution de l'équation différentielle

Q 30. Montrer que est une fonction hypergéométrique confluente.

On considère un espace probabilisé .
Soient deux entiers naturels et tels que et un nombre réel compris entre 0 et 1 . On suppose et on note .

Soit une variable aléatoire réelle discrète sur ( ). On dit que suit la loi hypergéométrique de paramètres et lorsque

On note alors .

Q 31. Vérifier qu'on a bien défini une loi de probabilité.
Q 32. Soit une variable aléatoire telle que . Calculer l'espérance de .
On rappelle que, pour tous entiers naturels non nuls et .
Q 33. Montrer que la suite est hypergéométrique. En déduire une expression de la fonction génératrice de à l'aide d'une fonction hypergéométrique.

On considère deux urnes contenant chacune boules dont sont blanches et sont noires. On tire simultanément, de manière équiprobable, boules dans la première urne. On note le nombre de boules blanches obtenues. On tire également, de manière équiprobable, boules dans la deuxième urne, mais successivement et avec remise. On note le nombre de boules blanches obtenues.

Q 34. Quelle est la loi de la variable ? Donner l'espérance et la variance de .
Q 35. Démontrer que .

On se propose d'utiliser la modélisation du tirage dans la première urne pour retrouver la valeur de l'espérance et pour calculer la variance d'une variable aléatoire suivant la loi hypergéométrique .

Pour cela, on numérote de 1 à chacune des boules blanches contenues dans la première urne et, pour tout entier naturel , on pose

Q 36. Exprimer à l'aide des et retrouver la valeur de l'espérance de . La comparer à celle de .
Q 37. Pour , démontrer que la variable aléatoire suit une loi de Bernoulli dont on précisera le paramètre.

Q 38. En déduire la valeur de la variance de . La comparer à celle de .

Soit une variable aléatoire suivant la loi . On fixe et . Soit .
Q 39. Montrer que .
Q 40. Interpréter ce résultat en lien avec ceux obtenus pour l'espérance et la variance de .