Centrale Mathématiques 2 PSI 2020

L'objet de ce problème est l'étude de différentes propriétés des fonctions de Lambert ainsi que leur application en probabilités.

Les fonctions et définies dans la partie I sont utilisées dans les parties II, III et IV. Les parties II, III et IV sont indépendantes les unes des autres.

Pour des entiers et avec , le coefficient binomial « parmi » est noté .
Lorsque représente l'ensemble des nombres entiers compris, au sens large, entre et .

Dans cette partie, on définit les fonctions de Lambert et on étudie certaines de leurs propriétés. On considère, dans toute cette partie, l'application

Q 1. Justifier que l'application réalise une bijection de l'intervalle sur l'intervalle . Dans la suite du sujet, la réciproque de cette bijection est notée . On rappelle que ceci signifie que, pour tout réel est l'unique solution de l'équation (équation d'inconnue ).
Q 2. Justifier que est continue sur et est de classe sur .
Q 3. Expliciter et .
Q 4. Déterminer un équivalent de lorsque ainsi qu'un équivalent de lorsque .
Q 5. Tracer, sur le même dessin, les courbes et représentatives des fonctions et . Préciser les tangentes aux deux courbes au point d'abscisse 0 ainsi que la tangente à au point d'abscise .
Q 6. Pour quelles valeurs du paramètre réel la fonction est-elle intégrable sur ?
Q 7. Pour quelles valeurs du paramètre réel la fonction est-elle intégrable sur ?
Q 8. Démontrer que l'application réalise une bijection de l'intervalle sur l'intervalle . Dans la suite du sujet, la réciproque de cette bijection est notée .
Q 9. Pour un paramètre réel , on considère l'équation d'inconnue

Déterminer, en fonction de , le nombre de solutions de (I.1). Expliciter les solutions éventuelles à l'aide des fonctions et .
Q 10. Pour un paramètre réel , on considère l'inéquation d'inconnue

En utilisant les fonctions et , déterminer, suivant les valeurs de , les solutions de (I.2). Illustrer graphiquement les différents cas.
Q 11. Pour des paramètres réels non nuls et , on considère l'équation d'inconnue

Déterminer, suivant les valeurs de et , le nombre de solutions de (I.3). Expliciter les solutions éventuelles à l'aide des fonctions et .

On étudie dans cette partie deux situations dont la résolution fait intervenir les fonctions et définies dans la partie précédente. Les variables aléatoires considérées dans cette partie sont définies sur un espace probabilisé ( ). L'espérance et la variance d'une variable aléatoire sont notées, sous réserve d'existence, respectivement et .

Pour fidéliser sa clientèle, un commerçant organise une tombola permettant de gagner différents lots. Chaque client qui entre dans le magasin tire un billet de tombola. Chaque billet permet de gagner un lot avec la probabilité . On suppose que les tirages sont indépendants et on admet que le nombre de billets distribués aux clients au cours d'une journée est une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre . On note le nombre de billets gagnants tirés au cours d'une journée et on admet que est également une variable aléatoire.
Pour que l'opération soit rentable, le commerçant souhaite que la probabilité de gagner au moins deux lots durant la même journée soit faible. On considère donc un réel et on souhaite réaliser la condition

Cependant, pour que l'opération intéresse les clients, le commerçant souhaite également que soit le plus grand possible, tout en réalisant la condition (II.1).
Q 12. Démontrer que suit une loi de Poisson de paramètre . Donner l'espérance et la variance de .
Q 13. En utilisant l'inégalité de Markov, démontrer que si , alors la condition (II.1) est satisfaite.
Q 14. On pose . Démontrer que la condition (II.1) est équivalente à la condition

Q 15. En utilisant l'une des fonctions et (définies dans la partie I) et la question 10, discuter selon la position de par rapport à l'existence d'un plus grand réel satisfaisant la condition (II.1).

Un message constitué d'une suite de bits est transmis sur un canal. Cependant, ce canal n'est pas fiable : chaque bit risque d'être inversé, indépendamment des autres, avec la probabilité . Pour fiabiliser la transmission, on découpe le message et on transmet des blocs de bits. Chaque bloc comprend à la fois des bits du message d'origine et des bits supplémentaires qui permettent de détecter et corriger une erreur. On note le nombre d'inversions survenues lors de la transmission d'un bloc de bits et on admet que est une variable aléatoire. Pour que la transmission soit suffisamment fiable, on souhaite que la probabilité qu'il y ait au moins deux erreurs dans un même paquet soit faible. Plus précisément, on considère et on veut réaliser la condition

Pour que le codage soit efficace, on souhaite de plus que soit le plus grand possible, tout en réalisant la condition (II.2).
Q 16. Déterminer la loi de , son espérance et sa variance.
Q 17. En utilisant l'inégalité de Markov, démontrer que si , alors la condition (II.2) est satisfaite.
Q 18. On pose et . Démontrer que la condition (II.2) est équivalente à la condition

Q 19. En utilisant l'une des fonctions et (définies dans la partie I) et la question 10, étudier l'existence d'un plus grand entier naturel satisfaisant la condition (II.2).
Q 20. Lorsqu'il existe, exprimer cet entier en fonction de et à l'aide d'une des fonctions ou .

Le but de cette partie est d'établir que la fonction définie dans la partie I est développable en série entière et de préciser son développement ainsi que son rayon de convergence. Pour cela, on commence par établir un résultat de nature algébrique.

On considère dans cette partie un entier naturel ainsi qu'un nombre complexe . On définit une famille de polynômes en posant

On note le -espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes et de degré inférieur ou égal à .
Q 21. Démontrer que la famille est une base de .
Q 22. Démontrer que pour tout .
Q 23. En déduire, pour et éléments de , la valeur de . On distinguera suivant que , ou .
Soit un élément de et soient des nombres complexes tels que

Q 24. Démontrer que, pour tout .
Q 25. En déduire l'identité binomiale d'Abel :

Q 26. Établir la relation,

On définit une suite en posant,

On définit, lorsque c'est possible, .
Q 27. Déterminer le rayon de convergence de la série entière .
Q 28. Justifier que la fonction est de classe sur et, pour tout entier , exprimer en fonction de .
Q 29. Démontrer que la fonction est définie et continue sur .
Q 30. Démontrer que,

On pourra utiliser le résultat de la question 26.
On considère la fonction
Q 31. Démontrer que est solution sur de l'équation différentielle .
Q 32. Résoudre l'équation différentielle sur chacun des intervalles puis sur l'intervalle .
Q 33. En déduire que,

Q 34. Ce résultat reste-t-il vrai sur ?

On définit dans cette partie une suite de fonctions et on étudie sa convergence vers la fonction définie dans la partie I.
Pour tout réel positif , on considère la fonction définie par

et on définit, sur , une suite de fonctions par,

Q 35. Démontrer que, pour tout réel positif est un point fixe de , c'est-à-dire une solution de l'équation .
Q 36. Démontrer que, pour tout réel positif , la fonction est de classe sur et que

Q 37. En déduire que

Q 38. Pour tout réel , justifier que la suite de fonctions ( ) converge uniformément sur vers la fonction .
Q 39. La suite de fonctions converge-t-elle uniformément vers sur ?