Centrale Mathématiques 2 PSI 2016

Ce problème aborde l'étude de deux transformations intégrales utilisées pour le traitement des signaux analogiques : la transformation de Fourier et celle de Laplace. Chacune d'elles permet de modéliser le comportement fréquentiel d'un signal. La partie I étudie quelques propriétés de la transformée de Fourier d'un signal analogique continu par morceaux et intégrable sur . La partie II aboutit à la formule d'inversion de Fourier qui permet de retrouver un signal à partir de sa transformée de Fourier. La partie III traite le cas particulier d'un signal dont le spectre des fréquences est limité à . La partie IV étudie le cas particulier d'un signal périodique. Le résultat auquel elle aboutit est utilisé dans la partie V pour démontrer le théorème de l'échantillonnage de Shannon. La partie VI utilise un résultat classique de probabilité pour démontrer l'injectivité de la transformation de Laplace sur l'ensemble des fonctions continues sur et nulles hors d'un segment.
On note

Pour toute fonction , on considère la fonction (transformée de Fourier de ) définie par

- On considère la fonction définie sur par

Justifier que appartient à et calculer sa transformée de Fourier .
- On considère la fonction définie sur par

I.B.1) Justifier que est développable en série entière. Préciser ce développement ainsi que son rayon de convergence. En déduire que est de classe sur .
I.B.2) Prouver que

En déduire que n'appartient pas à .
- Soit . Montrer que la fonction est continue sur .
I.D - Soit .
I.D.1) Justifier que, pour tout entier naturel , la fonction est intégrable sur .
I.D.2) Démontrer que la fonction est de classe sur et que

- On considère la fonction définie par , pour .
I.E.1) Justifier que appartient à et que est solution de l'équation différentielle

I.E.2) Établir que .

On admettra que .

Soit . On suppose que est intégrable sur . Pour tout entier naturel non nul , on pose

II. A - Montrer que .
II.B - Calculer .
II. - Prouver que .

On admettra la formule de Fubini :

II.D - Démontrer que .

En déduire, en utilisant la fonction , que

Cette formule permet de reconstruire le signal à partir de sa transformée de Fourier .

Démontrer que .

Soit une fonction de dont la transformée de Fourier est nulle en dehors du segment . D'après la relation II.1, on a

III. A - Démontrer que est de classe sur et que . En déduire que est de classe sur .
III.B - Prouver que

III. - On suppose que est nulle en dehors d'un segment . Montrer que .

Pour tout entier naturel , on note la fonction définie sur par

Soit une fonction de classe sur et 1 -périodique. On considère:

IV.A -
IV.A.1) Montrer que la fonction est de classe sur et continue sur .
IV.A.2) Calculer la limite de en 0 . En déduire que est de classe sur .

On admet dorénavant que est de classe sur .
IV. - Soit . Calculer l'intégrale .
IV.C - Démontrer que

IV.D - Justifier que

IV.E - À l'aide d'une intégration par parties, montrer l'existence d'un réel tel que

IV. - Soit . On considère la fonction définie sur par

Établir l'existence d'un réel , indépendant de et de , tel que

IV.G - Prouver l'existence d'un réel tel que

On pourra introduire la fonction .

Soit dont la transformée de Fourier est nulle en dehors du segment . On pose

où est définie à la question I.B.
Justifier que .
- Soit la fonction définie sur , qui est 1 -périodique et qui vaut sur l'intervalle . Montrer que est de classe sur .
- À l'aide de l'inégalité IV.1, prouver l'existence d'une suite de nombres complexes telle que la suite de fonctions converge uniformément vers sur .
- Démontrer que la suite de fonctions converge uniformément vers sur .
On notera symboliquement .
Établir que .
L'égalité traduit la reconstruction du signal à partir de l'échantillon .

Soit une fonction continue et nulle en dehors d'un segment. On définit la fonction (transformée de Laplace de ) sur par

On admettra que est de classe sur et que

Rappelons que, pour tout réel désigne la partie entière de .
VI.A - On considère une suite de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé ( ), mutuellement indépendantes et suivant la même loi de Poisson de paramètre . On pose

VI.A.1) Par récurrence, démontrer que, pour tout entier suit la loi de Poisson de paramètre . On admettra que, pour tout entier , les variables et sont mutuellement indépendantes.
VI.A.2) Soit . Prouver que

VI.A.3) Soit . Justifier les deux inclusions suivantes

VI.A.4) Dans toutes les questions qui suivent, on suppose .

Déduire du VI.A. 3 que

VI.B - À l'aide de la question VI.A, montrer que

VI. - Dans la suite de cette partie, on admettra que

VI.C.1) Soit . Démontrer que

VI.C.2) En déduire que l'application est injective sur l'ensemble des fonctions à valeurs complexes, continues sur et nulles en dehors d'un segment.