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Centrale Mathématiques 2 PSI 2015

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Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesAlgèbre linéairePolynômes et fractionsIntégrales à paramètresGéométrie
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Centrale
Année
2015
Filière
PSI
Matière
Maths
Centrale PSICentrale 2015PSI MathsMaths 2015
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Le problème de Dirichlet est un problème aux limites bien connu en théorie du potentiel, en particulier lorsqu'on est en présence d'une symétrie de révolution.
Dans le plan , étant donnée une succession continue de valeurs sur un contour fermé (en particulier sur le cercle trigonométrique), il s'agit de déterminer une fonction (par exemple un potentiel en physique) harmonique à l'intérieur du domaine délimité par ce contour et coïncidant avec les valeurs données sur le contour. Dans le cas particulier où l'on a des valeurs polynomiales sur le contour fermé, on obtient comme solution un polynôme harmonique.
Les applications physiques liées à ce type de problème aux limites sont nombreuses, par exemple en géophysique, en physique quantique et en cristallographie.

Rappels et notations

  • L'espace vectoriel est muni de sa structure euclidienne canonique et de la norme associée définie par .
  • Si et , la notation (respectivement ) désigne le disque ouvert de centre ( ) et de rayon (respectivement le disque fermé de centre ( ) et de rayon ). En particulier la notation (respectivement et ) désigne le disque ouvert de centre de rayon 1 (respectivement le disque fermé de centre de rayon 1 et le cercle de centre et de rayon 1).
    On note un ouvert de .
  • Si est une fonction de classe de dans , ou (respectivement ou ) est la dérivée partielle du premier ordre par rapport à la première variable (respectivement par rapport à la seconde variable) dans la base canonique.
    Si est de classe ou (respectivement ou ) est la dérivée partielle d'ordre 2 de par rapport à la première variable (respectivement par rapport à la seconde variable) dans la base canonique.
  • Si est une application de classe sur l'ouvert , on rappelle que le laplacien de est l'application définie par
  • Soit un ouvert de . Une application est dite harmonique (sur ) si est de classe sur et si pour tout .
  • On appelle fonction polynomiale des deux variables et sur (ou plus simplement polynôme de deux variables, ou encore polynôme quand il n'y a pas de confusion possible) toute application de la forme
où est un entier naturel fixé et les sont des coefficients réels.
Le polynôme nul est celui dont tous les coefficients sont nuls ; son degré est par convention .
De plus, pour tout polynôme non nul, le degré de est l'entier naturel défini par .
On note l'ensemble des polynômes à deux variables et pour tout l'ensemble des polynômes à deux variables de degré inférieur ou égal à . On admettra dans tout le problème que est un -espace vectoriel pour les lois usuelles et que en est un sous-espace vectoriel.
Enfin, un polynôme est dit harmonique s'il définit en plus une application harmonique sur .

Objectifs

Dans la partie I, on donne quelques propriétés simples des polynômes et des polynômes harmoniques.
La partie II étudie certaines applications harmoniques ; les résultats obtenus seront utilisés dans la partie III.
La partie III s'intéresse au problème de Dirichlet sur le disque unité, puis la partie IV se focalise sur le problème de Dirichlet dans le cas où la condition au bord est polynomiale. On détermine pour finir la dimension de sous-espaces vectoriels de polynômes harmoniques.

I Résultats préliminaires

- Soient un ouvert non vide de et un polynôme de deux variables, tel que pour tout .
I.A.1)
a) Montrer que pour tout , l'ouvert contient un sous-ensemble de la forme , où et sont des intervalles ouverts non vides de contenant respectivement et .
L'utilisation d'un dessin sera appréciée ; ce dessin ne constituera cependant pas une preuve.
b) En déduire que est le polynôme nul.
On pourra se ramener à étudier des fonctions polynomiales d'une variable.
I.A.2) Ce résultat subsiste-t-il si l'ensemble admet une infinité d'éléments mais n'est pas supposé ouvert ?
I.B -
I.B.1) Soit . Justifier que l'espace vectoriel est de dimension finie et déterminer sa dimension.
I.B.2) Déterminer un polynôme harmonique de degré 1, puis de degré 2.
I.B.3)
a) Montrer que l'ensemble des polynômes harmoniques est un sous-espace vectoriel de .
b) Pour tout , on note la restriction de à . Montrer que .
c) Que peut-on déduire pour la dimension de l'espace vectoriel des polynômes harmoniques?
I. - Déterminer, dans chacun des cas suivants, un polynôme harmonique qui vérifie pour tout :
I.C.1) ;
I.C.2) .

II Quelques exemples d'applications harmoniques

Soit un sous-ensemble ouvert inclus dans . On définit, pour tout et tout couple :
II. - On prend pour (uniquement dans cette question) l'intérieur du triangle équilatéral de sommets et . Faire un dessin sur lequel apparaissent et .
II.B - Soient et fixés.
II.B.1) Soit une application harmonique de classe telle que et sont de classe sur . Montrer que les applications et sont également harmoniques sur .
II.B.2) Par quelle(s) transformation(s) géométrique(s) l'ensemble est-il l'image de ? Justifier que est un ouvert de .
II.B.3) Soit une application harmonique.
Montrer que l'application est harmonique sur .
II.C -
II.C.1) Montrer que les applications
sont harmoniques.
II.C.2) En déduire que, pour tout , l'application est harmonique .

II.D - Un exemple fondamental

Pour fixé, on définit le nombre complexe et on pose pour réel (quand l'expression a un sens) :
II.D.1) Montrer que, pour tout , l'application
est harmonique.
On pourra utiliser la question II.B.3.
II.D.2) Dans la suite de cette partie, le couple ( ) est fixé dans .
Montrer que est définie et continue sur .
II.D.3) Soit fixé. Déterminer deux nombres complexes et , indépendants de et de , tels que
II.D.4) En déduire que .
On pourra écrire sous la forme de la somme d'une série de fonctions.

III Problème de Dirichlet sur le disque unité de

Soit une application continue. On appelle l'ensemble des applications définies et continues sur , harmoniques sur et qui coïncident avec l'application sur .
Le problème de Dirichlet sur le disque unité de associé à , consiste à rechercher les éléments de l'ensemble .
On définit en outre, en reprenant les notations de la partie II, l'application
sur et l'application
sur .

III.A - Étude de l'application

III.A.1)

a) Montrer que admet une dérivée partielle d'ordre 2 par rapport à .
De même on peut montrer que admet des dérivées partielles d'ordre 2 par rapport à toutes ses variables, continues sur . Ce résultat est admis pour la suite.
Exprimer, pour tout , pour tout en fonction de .
b) En déduire que est harmonique sur .
III.A.2) Dans cette question, on fixe et . De plus, on note, pour tout réel :
a) Montrer que est un intervalle ou bien la réunion de deux intervalles disjoints.
L'utilisation d'un dessin sera appréciée ; ce dessin ne constituera cependant pas une preuve.
b) Montrer, en utilisant l'application , l'existence d'un réel tel que
c) Soit quelconque. Montrer que, si et , alors
d) Déduire de la question précédente que, pour fixé, il existe tel que, si , alors
III.A.3) Prouver que est une application continue en tout point de . Qu'en conclut-on pour l'application ?
III. B - Dans cette sous-partie, on suppose que est l'application nulle sur et que est un élément de . Pour tout , on définit l'application
III.B.1) Supposons que admette un maximum local en .
a) En s'intéressant au comportement de la fonction montrer que, dans ce cas, . De même, on peut montrer que . Ainsi . Ce résultat est admis pour la suite.
b) En déduire que n'admet pas de maximum local sur .
III.B.2) En déduire que, pour tout .
III.B.3) Montrer que est identiquement nulle sur .
III. - Prouver que, pour toute application continue , l'ensemble admet exactement un élément.

IV Retour sur les polynômes harmoniques

- Dans cette question, est un entier supérieur ou égal à 2 . On considère un polynôme et on note la restriction de au cercle .
IV.A.1) Montrer que l'application
ù
est linéaire et injective et que .
IV.A.2) En déduire qu'il existe un polynôme tel que soit un polynôme harmonique.
IV.A.3) Montrer que l'unique élément de l'ensemble est la restriction à d'un polynôme de degré inférieur ou égal à .
IV.A.4) Expliciter l'ensemble quand le polynôme est défini par .
IV.B -
IV.B.1) Soit . Montrer que se décompose de manière unique sous la forme :
où est un polynôme harmonique et .
IV.B.2) Soit . On note le sous-espace vectoriel des polynômes harmoniques de degré inférieur ou égal à . Déterminer la dimension de .
IV.B.3) Déterminer explicitement une base de .
IV.C - Dans cette dernière sous-partie, on se place sur pour un entier naturel et on reprend les notations précédentes, en adaptant les outils au contexte de ; en particulier on considère maintenant les applications polynomiales à variables. On admet que le problème de Dirichlet sur la boule unité de , associé à une fonction continue et définie sur la sphère unité (notée ) , admet encore une unique solution.
Soit .
IV.C.1) Montrer que l'ensemble
a pour cardinal . En déduire la dimension de .
IV.C.2) Déterminer la dimension de en fonction de et de .
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