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Centrale Mathématiques 2 PSI 2013

Exponentielle de matrice

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre généraleRéductionFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Centrale
Année
2013
Filière
PSI
Matière
Maths
Centrale PSICentrale 2013PSI MathsMaths 2013
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Exponentielle de matrices

Le but du sujet est d'étudier l'exponentielle de matrices, réelles ou complexes.
Dans tout le sujet, désigne un entier naturel non nul.
Si désigne un corps, ou , on adopte les notations suivantes :
  • est l'ensemble des polynômes à coefficients dans .
  • est l'ensemble des polynômes à coefficients dans de degré au plus .
  • est l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients dans .
  • est la matrice identité de .
  • Une matrice est dite antisymétrique si .
  • est l'ensemble des matrices inversibles de .
  • On note tr l'application trace et det l'application déterminant.
  • est l'ensemble des matrices orthogonales à coefficients dans et d'ordre .
  • est l'ensemble des matrices de de déterminant 1 .
  • On munit de la norme quadratique définie par
et on munit de la structure d'espace vectoriel normé associée.
  • Si est une matrice de , on note l'endomorphisme de canoniquement associé à la matrice et, par abus de notation, .
  • Si est une matrice de on définit, lorsque la limite existe,
  • Lorsque on munit de sa structure canonique d'espace euclidien.

I Question préliminaire

Soit .
On pose , où .
I. - Soit . Déterminer le module et un argument de en fonction de et .
- En déduire que

II Matrices antisymétriques réelles d'ordre 2 ou 3

II.A - Matrices antisymétriques d'ordre 2

Soit . Soit une matrice antisymétrique. On pose où .
II.A.1) Déterminer un nombre tel que
II.A.2) Déterminer un nombre réel tel que
II.A.3) En déduire que existe et que c'est une matrice de rotation, dont on précisera l'angle.

II.B - Matrices antisymétriques d'ordre 3

II.B.1) Soit antisymétrique.
a) Montrer que .
b) Montrer que est stable par .
c) En déduire que est de rang 0 ou 2 .
II.B.2) Montrer qu'il existe une matrice de et un réel tels que
II.B.3) Montrer que lorsque l'égalité de la question précédente est vérifiée, on a .
II.B.4) Montrer que existe et est une matrice de rotation. Préciser la valeur de son angle non orienté en fonction de .

III Exponentielle de matrices diagonalisables

III.A - Cas des matrices diagonales

Soit une matrice diagonale.
III.A.1) Montrer que existe et que .
III.A.2) Montrer qu'il existe un polynôme tel que .
III.A.3) Soit ( ) le sous-groupe additif de formé par les matrices diagonales.
Montrer que définit un morphisme de groupe de ( ) dans ( ).

III.B - Existence et propriétés de lorsque est diagonalisable

Soit une matrice diagonalisable.
III.B.1) Montrer que existe.
III.B.2) Montrer que .
III.B.3) Soit .
Montrer que existe et que

III.C - Exponentielle de la somme

Soient deux matrices diagonalisables. On suppose que et commutent.
III.C.1) Montrer qu'il existe telle que et soient diagonales.
On étudiera les restrictions de aux sous-espaces propres de .
III.C.2) En déduire que existe et que .

IV Exponentielle de matrices nilpotentes

Soit et tel que et (on dit que est nilpotente d'ordre ). Soit également .

IV.A -

IV.A.1) Montrer que, pour tout entier tel que est inclus strictement dans .
IV.A.2) En déduire que .
IV.B - Montrer que existe. Proposer une procédure Maple ou Mathematica prenant en entrée une matrice triangulaire supérieure stricte et renvoyant la valeur de .
IV. - Montrer qu'il existe un polynôme tel que .
IV.D - Soit . On suppose que et commutent et que existe.
On admet que, pour tout entier compris entre 1 et ,
Montrer que existe et que .
IV.E - Soit .
Montrer que existe et que .
IV.F - Montrer que est nilpotente.

V Cas général

Soit et . On note
et le polynôme caractéristique de défini par

V.A - Liens avec le polynôme caractéristique

V.A.1) Montrer qu'il existe un unique couple tel que
V.A.2) Montrer que existe si et seulement si existe.
V.A.3) Soient et les racines de deux à deux distinctes, dont on note les ordres de multiplicité respectifs.
Pour tout entier compris entre 1 et , on note la matrice de dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux situés juste au-dessus de la diagonale qui valent 1.
Montrer que, pour tout , pour tout entier compris entre 1et , la famille est libre.
V.A.4) Soit la matrice diagonale par blocs définie par
Montrer que .

V. - Convergence de

V.B.1) Soit un entier .
Montrer que
V.B.2) Soit un polynôme annulateur non nul de la matrice .
a) Montrer que le degré de est .
b) En déduire que la famille est libre.
V.B.3) Montrer que existe.
V.B.4) En déduire que existe.
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