Dans tout ce problème, est un espace vectoriel euclidien de dimension . Le produit scalaire de deux vecteurs et de est noté , la norme du vecteur est notée .
L'espace des endomorphismes de est noté . Le composé de deux éléments et de est noté indifféremment ou o et l'identité . L'adjoint de est noté ; on rappelle qu'il est caractérisé par la propriété suivante :

Si est un élément de désigne la trace de . Le composé de exemplaires de est noté (avec, par convention, ). Si est un sous espace de stable par , l'endomorphisme induit par sur est noté .
On notera l'ensemble des endomorphismes symétriques (ou autoadjoints) de et le sous ensemble de constitué des endomorphismes symétriques dont les valeurs propres sont positives.
On rappelle que, si est une application de dans et (e) = ( ) une base de , par rapport à laquelle les coordonnées de sont :

alors est de classe sur , si et seulement si, pour tout entier l'application est une application de classe de dans .
Soit un élément de et un élément de . On considère l'équation

dont l'inconnue est la fonction de classe de dans .
On rappelle que, pour tout de , il existe une unique solution de . On l'appelle -trajectoire de .

Afin d'alléger la rédaction, on conviendra que toute propriété géométrique d'une trajectoire concerne en réalité l'ensemble ; par exemple, on dira que la trajectoire est un cercle si est un cercle.
On désigne par l'ensemble des , éléments de , tels que toutes les -trajectoires sont bornées, c'est-à-dire sont telles que, quel que soit le choix de , il existe un réel , dépendant de , pour lequel on a :

si désigne la -trajectoire de .
De même, on note l'ensemble des , éléments de , tels que toutes les -trajectoires sont sphériques, c'est-à-dire sont telles que, quel que soit le choix de , il existe un élément et un réel , dépendants de , pour lesquels on a:

si désigne la -trajectoire de .
L'objectif du problème est de caractériser les ensembles et .

I.A - Soit un sous-espace de , stable par . Montrer que si , la -trajectoire de est contenue dans .
I.B - Soit un élément de un vecteur propre de associé à la valeur propre et la -trajectoire de . Exprimer en fonction de .
I.C - Soit un élément de un élément de n'appartenant pas à Ker et la -trajectoire de . Exprimer en fonction de et préciser la nature géométrique de cette trajectoire.
I.D - Soit un élément de un élément de . On suppose qu'il existe un réel n'appartenant pas à et un réel strictement positif tels que

On note la -trajectoire de .
I.D.1) Montrer que la famille ( ) est libre et justifier l'existence de deux applications et de dans , telles que

I.D.2) Montrer que et sont de classe . Former une équation différentielle linéaire du second ordre, avec deux conditions initiales, vérifiée par . En déduire l'expression de .
I.D.3) Montrer que est bornée si et seulement si . Dans ce cas, décrire géométriquement la -trajectoire . À quelles conditions cette trajectoire est-elle un cercle?
I.E - Soit un réel strictement positif, un élément de et un élément de . On désigne par la famille

I.E.1) Montrer que est stable par .
I.E.2) Montrer que est libre si et seulement si .
I.E.3) On suppose que . Montrer que la -trajectoire de peut s'écrire sous la forme :

Déterminer , puis , puis . Montrer que cette trajectoire n'est pas bornée.

Dans les questions II.A à II.D incluses, désigne un endomorphisme de tel que toutes les -trajectoires sont bornées: .
II.A - Soit une valeur propre réelle de . Montrer que .
II.B - Montrer que et .
II.C - Exhiber, sans démonstration, un polynôme non nul, à coefficients réels, qui annule . Démontrer qu'il existe un polynôme unitaire à coefficient réel qui est de degré minimal parmi les polynômes non nuls de annulant .
Dans toute la suite de la section II.C, ce polynôme est noté .
II.C.1) Soit un diviseur non constant de . Montrer que ne peut être inversible.
II.C.2) On suppose que admet une racine réelle . Montrer que et, en s'aidant de la question II.B, que l'ordre de multiplicité de cette racine dans est égal à 1 .
II.C.3) Que dire de si est scindé sur ?
II.C.4) On suppose que possède une racine complexe non réelle. On écrit sous forme trigonométrique : , avec et réels, et n'appartenant pas à . Démontrer qu'il existe un vecteur tel que: . En déduire la valeur de . Qu'en conclure sur les racines non réelles de ?
II.C.5) Soit , montrer que .
II.C.6) On suppose ; démontrer qu'il existe un entier et des réels strictement positifs et distincts tels que soit de l'une ou l'autre des deux formes suivantes :

II.D - Prouver que vérifie les deux propriétés suivantes :
i) L'endomorphisme est diagonalisable et ses valeurs propres sont des réels négatifs ou nuls.
ii) .

Prouver que les dimensions des sous-espaces propres de associés à ses valeurs propres strictement négatives sont paires.
II.E - Réciproquement soit un élément de , non nul et vérifiant les deux propriétés i) et ii) de la question II.D). Établir l'existence d'un entier strictement positif, de sous-espaces tous non réduits à , de dimensions paires et stables par et de réels , strictement positifs et distincts, tels que :


Étudier la -trajectoire d'un vecteur appartenant à l'un des et en conclure que .

III.A.1) Soit un élément de . Prouver l'équivalence des deux propriétés suivantes :
a)
b) .

Un endomorphisme vérifiant l'une de ces deux propriétés est appelé endomorphisme antisymétrique de . L'ensemble de ces endomorphismes est noté .
III.A.2) Soit un élément de et une -trajectoire associée ; calculer la dérivée de la fonction . Montrer que .
III.B - Soit un élément de et un sous-espace de stable par . Montrer que est élément de .
III.C - Montrer que .
III.D - Dans cette section III.D, est de dimension 2 et est un élément non nul de .
III.D.1) Démontrer que est une homothétie de rapport strictement négatif.
III.D.2) Soit un élément de et le centre d'un cercle contenant la -trajectoire de . Justifier que peut s'écrire sous la forme et prouver que .
III.D.3) Prouver que .
III.E - Dans cette section III.E, est un espace vectoriel orienté de dimension 3.
Soit un élément de et un vecteur de orthogonal à . On définit l'endomorphisme de par .
III.E.1) Montrer que est antisymétrique si et seulement si .
III.E.2) Montrer que si est non nul, appartient à .

On pourra commencer par prouver que pour tout de , si désigne la -trajectoire de est constant et l'on cherchera le centre de la sphère sous la forme , où est une constante à déterminer.
On se propose de prouver que tout endomorphisme élément de , non nul est de la même forme que .
III.E.3) Soit un élément de . Établir que n'admet qu'une seule valeur propre strictement négative, notée et que .
III.E.4) En déduire l'existence d'une base orthonormée de où la matrice de est de la forme

et conclure.
III.F - On suppose, dans cette question, que , élément de , vérifie où . À l'aide des résultats des questions III.B et III.D, montrer que est antisymétrique.
III.G - Démontrer que, dans le cas général, est constitué des endomorphismes qui vérifient les deux propriétés suivantes :
i) .
ii) L'endomorphisme induit par sur est antisymétrique.

Ces deux conditions étant supposées réalisées, préciser géométriquement en fonction de élément de , le centre d'une sphère qui contient la -trajectoire de .