Centrale Mathématiques 2 PSI 2003

Dans tout le problème, est un entier naturel supérieur ou égal à 1 .
On considère un espace euclidien de dimension . On note le produit scalaire de deux vecteurs et et la norme associée.
Pour , on note son adjoint, son polynôme caractéristique et l'ensemble de ses valeurs propres. On note le générateur de l'idéal des polynômes annulateurs de dont le coefficient de plus haut degré est égal à 1 . est appelé polynôme minimal de .
L'endomorphisme de est dit antisymétrique lorsque .
On note, et les sous-ensembles de formés respectivement des endomorphismes symétriques, antisymétriques, orthogonaux.
Si est un sous-espace de stable par , on note l'endomorphisme de induit par .
On note l'ensemble des endomorphismes de tels que soit un polynôme en et l'ensemble des endomorphismes de qui commutent avec leur adjoint, donc :

Le but du problème est d'étudier et comparer les deux ensembles et . On note l'ensemble des matrices carrées réelles de taille et et les sous-ensembles de formés respectivement des matrices symétriques, antisymétriques, orthogonales.
Pour , on note son polynôme caractéristique et son polynôme minimal, c'est-à-dire le polynôme minimal de l'endomorphisme de canoniquement associé à . On note la transposée de .
Deux matrices et sont dites orthogonalement semblables lorsqu'il existe tel que .
On note l'ensemble des matrices de telles que peut s'exprimer comme un polynôme en , donc :

Les parties I et II sont indépendantes.

I.A.1) Soient et les deux matrices d'un même endomorphisme de rapporté à deux bases orthonormales. Montrer que et sont orthogonalement semblables.
I.A.2) Soit un endomorphisme de et sa matrice sur , une base orthonormale de . Établir un rapport entre l'appartenance de à (resp. ) et l'appartenance de à (resp. ).
Dans la suite du problème, on pourra exploiter ce rapport pour répondre à certaines questions.
I.A.3) Montrer que et que .

I.B.1) Vérifier que et .
I.B.2) Quelles sont les matrices triangulaires supérieures qui appartiennent à ?
En déduire que si , on a .
I.B.3) Soit admettant, sur une certaine base de , une matrice triangulaire supérieure. Montrer qu'il existe une base orthonormale ' de , telle que les matrices de passage de à ' et de ' à soient triangulaires supérieures.
Montrer que la matrice de dans ' est triangulaire supérieure.
En déduire les éléments qui sont trigonalisables.
I.B.4) On suppose que est un automorphisme de ; montrer que admet un polynôme annulateur tel que . En déduire que peut s'écrire comme un polynôme en .
En déduire que .

I.C.1) Montrer que si et , alors il existe un unique polynôme réel que l'on note , tel que degré degré et .
Si est la matrice nulle, on convient que est le polynôme nul.

Énoncer le résultat correspondant pour .
I.C.2) Déterminer les matrices de pour lesquelles est un polynôme constant.
I.C.3) Déterminer les matrices de pour lesquelles est du premier degré. On rappelle que toute matrice carrée s'écrit comme somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique.
I.C.4) Soient et deux matrices orthogonalement semblables.

Montrer que si alors et .
I.D - Décrire les éléments de et calculer les correspondants.
I.E - Soit

I.E.1) On suppose que et sont premiers entre eux. Montrer l'existence de deux polynômes et tels que :

Calculer pour entier positif quelconque, puis pour .
En déduire que .
I.E.2) Expliciter en fonction de et .

Comment trouver connaissant , et le polynôme défini par :

I.F - Soit

Vérifier que et calculer avec la méthode précédente.

II.A - Montrer que si et , alors .
II.B - Soient et . Montrer que . En déduire que et ont le même noyau.
II.C - Soit un entier, . On suppose donné un endomorphisme antisymétrique inversible de l'espace muni de son produit scalaire canonique.
II.C.1) Comparer les déterminants de et . En déduire que est pair.
II.C.2) On considère les applications et définies sur par et et l'application

Montrer que et sont de classe sur et que leurs différentielles en fixé sont les formes linéaires

Montrer que l'application est de classe sur et déterminer sa différentielle en , en calculant au moyen de produits scalaires et de normes.

On note .
Montrer que l'ensemble des valeurs prises par sur coïncide avec l'ensemble des valeurs prises par sur . Montrer que la fonction admet un maximum sur et que ce maximum est atteint en un point .
Montrer que, pour tout , on a . En déduire que est un plan stable par .
Donner une base orthonormale de et exprimer la matrice de relative à cette base.
II.C.3) Montrer qu'il existe une base orthonormale de telle que :

II.D - Soit et un sous-espace stable par et . On note le supplémentaire orthogonal de .
II.D.1) Montrer que est stable par et .
II.D.2) Montrer que .
II.D.3) Montrer que si, en outre, , alors et .

Jusqu'à la fin de la partie II, u désigne un élément de .
II.E - Soient et ; montrer que . En déduire que et ont les mêmes sous-espaces propres et que ceux-ci sont en somme directe orthogonale.
Si est une valeur propre de , on note le sous-espace propre associé. Soit le supplémentaire orthogonal du sous-espace :
, où la somme porte sur l'ensemble des valeurs propres de .
Montrer que est stable par et . En considérant la restriction de à , montrer que la dimension de ne peut être impaire. On notera .
II.F - On suppose que est non nul. Soit . On pose

II.F.1) Justifier que le polynôme caractéristique de est scindé.On le note :

II.F.2) Montrer que o o et o .

Montrer qu'il existe une base orthonormale de telle que la matrice de dans soit diagonale par blocs :

avec, pour de la forme où est antisymétrique.
II.F.3) On suppose en outre que n'admet aucune valeur propre réelle. Montrer que les sont inversibles.
II.G - Montrer qu'il existe une base orthonormale de telle que :

pour .
II.H - Donner une caractérisation des matrices .
II.I - Préciser la matrice obtenue dans II.G quand .

III.A - Soit .
III.A.1) Soit

Montrer que si et seulement , pour .
III.A.2) Donner les expressions de et pour une matrice

Montrer que si et seulement si et .
Dans les questions qui suivent, on fixe . D'après II.H, est orthogonalement semblable à une matrice telle que celle représentée dans II.G.
III.A.3) Montrer que si et seulement si :

III.A.4) Montrer qu'il existe , de degré minimal, vérifiant les conditions ci-dessus (sur et ) et que ce polynôme est, en fait, à coefficients réels.
En déduire que .
III.B - Montrer que le polynôme trouvé dans III.A. 4 est, en fait, . Retrouver, avec la méthode précédente, le polynôme de la question I.F.
III.C - Dans cette question, on suppose et on note la matrice circulante

III.C.1) Montrer que .

En déduire que toute matrice circulante appartient à .
III.C.2) À toute matrice circulante non nulle , on associe les polynômes

Donner l'expression de . Comparer et le reste de la division euclidienne de par .
En déduire les étapes d'une méthode de calcul de . Détailler le calcul pour .
III.D - Soit avec .

Montrer qu'il existe un entier et une matrice telle que si et seulement si .
Indication : montrer que, si et existent, admet au moins une racine réelle et exactement deux racines complexes, conjuguées l'une de l'autre.