Centrale Mathématiques 2 PSI 2002

Les deux premières parties de ce problème se proposent d'étudier deux types d'approximation d'une fonction sur un segment, et de les comparer. La troisième partie munit l'espace des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n d'une structure euclidienne et étudie certaines propriétés des polynômes interpolateurs de Lagrange relativement à cette structure. La troisième partie est indépendante des deux premières.

Notations : pour et , on note :

Dans cette section on pose

et on se propose de résoudre le système , d'inconnue , par la méthode du pivot de Gauss sans échange de lignes.

I.A.1) Cas .

Résoudre par cette méthode le système ( ) .
On remarquera en particulier que les pivots successifs valent :

I.A.2) On revient au cas général.
a) Écrire une procédure de résolution du système

suivant l'algorithme du pivot de Gauss sans échange de lignes.
b) On note ( ) la suite des pivots. Vérifier que:

c) Étudier la suite définie par :

d) En déduire que et que est inversible.

Notation : pour toute matrice , on note son déterminant.
I.B.1) On pose et pour tout , . Montrer que la suite vérifie une relation de récurrence simple ; en déduire puis et .
I.B.2) En déduire que est inversible.
I.B.3) Calculer explicitement les valeurs propres de et .

a) Soit un réel tel que:

et, .
Montrer qu'alors est inversible.
b) En déduire que les valeurs propres de appartiennent à la réunion des intervalles

et que et sont inversibles.

Pour on pose et pour .
On note l'ensemble des fonctions (dites splines cubiques) de classe sur telles que : la restriction de à est polynomiale de degré .
II.A - Montrer que l'application :

est un isomorphisme d'espace vectoriel.
On rappelle que, si désigne la dérivée à droite d'ordre 3 en .

Quelle est la dimension de l'espace vectoriel ?
II.B - est une fonction de classe sur .
II.B.1) Soit .
a) Montrer qu'il existe une unique fonction définie sur à valeurs dans IR vérifiant :
(i) la restriction de à est polynomiale de degré ,
(ii) ,
(iii) .

Concours Centrale-SupséYec
b) Établir que pour et on a:

où et sont des réels que l'on exprimera en fonction de et .
II.B.2) Montrer que:

partie I, et est une matrice colonne dépendant des , et .
II.B.3) En déduire qu'il existe une et une seule fonction spline cubique vérifiant les conditions :

II.B.4) Retrouver la valeur de la dimension de .

On peut montrer et on admettra ici que si est de classe sur ,

II.C.1) Soit une fonction de classe sur . Montrer qu'il existe une unique fonction polynomiale , de degré telle que:

II.C.2) On peut montrer, et on admettra ici que, si est de classe sur :

Comparer les deux méthodes d'approximation précédentes (splines cubiques et Lagrange-Sylvester) du double point de vue de la simplicité et de la précision, d'abord pour , puis pour .

III.A - On considère l'espace vectoriel . Pour , on pose :

III.A.1) Montrer qu'on définit ainsi un produit scalaire euclidien sur . On notera la norme du polynôme associée au produit scalaire précédent.
III.A.2) Montrer qu'il existe une unique famille ( ) de telle que :

où la fonction désigne le symbole de Kronecker :

Vérifier que la famille ( ) est une base orthonormée de . Elle sera notée . Que peut-on dire du degré du polynôme ?
III.A.3) Déterminer les coordonnées dans la base d'un vecteur de orthogonal (au sens du produit scalaire précédemment défini) à l'hyperplan de formé des polynômes de degré .
Si , on note

la distance du polynôme à l'hyperplan .
Montrer que .
III.A.4) En remarquant que : , exprimer

à l'aide d'un seul coefficient binômial.
III.A.5) En déduire la valeur de .
III.B - Étude d'un endomorphisme de

On note

et on fixe un polynôme dans .
On considère l'application de dans , qui à tout de associe le reste de la division euclidienne de par .
III.B.1) Montrer que est un endomorphisme de .
III.B.2) Exprimer en fonction de . En déduire que est un endomorphisme autoadjoint de .
III.B.3) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur pour que soit un automorphisme orthogonal de . Quelle est alors sa nature géométrique?
III.B.4) On note .

Exprimer

à l'aide des .