Dans le problème on considère à la fois la structure vectorielle et la structure affine de ; ainsi les éléments de pourront être considérés soit comme des vecteurs, soit comme des points, ce qui permettra d'utiliser les notations classiques résultant de ce double point de vue :

L'espace est muni de sa structure euclidienne canonique. Il est orienté (si nécessaire) par la base canonique, considérée comme base orthonormale directe. Ainsi, le produit scalaire s'écrit :

La norme de

est notée

la longueur du segment [

] est, par définition, la distance euclidienne entre

, c'est-à-dire

On rappelle qu'une application affine de dans lui-même est une application , telle qu'il existe et pour lesquels,

Dans ce cas,

est appelée la partie linéaire de

Définitions

Combinaison affine, combinaison convexe : soient points de réels de somme égale à , on appelle combinaison affine

Filière PSI

des points

le point

barycentre des points

affectés des coefficients

, ce qui se traduit vectoriellement par la relation

Lorsque les

sont tous positifs (

), on parle de combinaison convexe.

Ensemble convexe : soit un sous-ensemble non vide de points de . On dit que est convexe s'il est stable par combinaison convexe. Cela signifie que pour tout de , pour tout -uplet ( ) de points de et pour tout -uplet ( ) de réels positifs, de somme égale à 1 on a

Polytope : on appelle polytope l'ensemble des combinaisons convexes d'une partie finie de ( entier ). Cet ensemble, noté , est défini par

Par exemple

est le segment [

en dimension 2, on parle de polygone convexe,
en dimension 3 , on parle de polyèdre convexe.
Point extrémal : soit un sous-ensemble convexe de , on dit qu'un point est extrémal si est encore convexe.

Partie I - Quelques propriétés des polytopes

I.A -

I.A.1) Montrer que tout segment de

est convexe.
I.A.2) Montrer que tout demi-plan fermé ou ouvert

est convexe. On rappelle qu'un demi-plan fermé, respectivement ouvert, de

peut être défini de la façon suivante :

respectivement

I.A.3) Montrer que, si

est un ensemble non vide d'indices et

une famille de convexes de

d'intersection non vide, alors

I.B - Soit

un sous-ensemble non vide de

, on suppose que

Montrer par récurrence sur

que toute combinaison convexe de

éléments de

appartient à

c'est-à-dire que

En déduire une caractérisation d'un ensemble convexe.
I.C - Dans

, on appelle triangle tout polygone convexe

où

sont trois points non alignés. On note

le demi-plan fermé contenant le point

et de frontière la droite

. On définit de même, par permutation circulaire, les demi-plans

.
I.C.1) Montrer que

(on pourra commencer par prouver que, si

, avec

, alors

).
I.C.2) Montrer que

est un point extrémal de

.
I.D - Montrer que l'image d'un polytope par une bijection affine de

dans luimême est un polytope.
I.E - Soit

.
I.E.1) Montrer que

est un compact de

.
I.E.2) Soit

points de

, on définit l'application

Dire rapidement pourquoi

est continue.
I.E.3) Montrer que tout polytope est compact.
I.E.4) En déduire que, dans

, si une droite

coupe un polygone convexe

alors l'intersection est un segment, éventuellement réduit à un point.

I.F -

I.F.1) Soient

un polytope de

un demi-espace fermé contenant

défini par

où

est un vecteur non nul de

un réel. On suppose que

est le seul point de

réalisant l'égalité

. Montrer que, si

n'est pas réduit à

, alors

est un point extrémal de

On admet que la réciproque est vraie, autrement dit que cette propriété est caractéristique des points extrémaux des polytopes.

I.F.2) Montrer que l'ensemble des points extrémaux du polytope, ensemble des combinaisons convexes des points

, est un sous-ensemble de l'ensemble

.
I.F.3) On appelle courbe des moments dans

la courbe définie par

Préciser la courbe obtenue lorsque .
Soit le polytope, ensemble des combinaisons convexes des points , où sont réels distincts. Montrer que les points extrémaux de sont les points .
Indication : on pourra prendre pour chaque point le vecteur
, et pour demi-espace fermé .

Partie II - Représentation complexe des endomorphismes de

On assimile le plan vectoriel euclidien

au corps

des nombres complexes en identifiant tout couple

au nombre complexe

II.A -

II.A.1) Soit

une application de

vers

. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :

est R -linéaire,
il existe des complexes et tels que .
II.A.2) On considère une application - linéaire de vers définie par . Montrer que et en déduire une condition nécessaire et suffisante pour que soit un automorphisme.
II.A.3) Exemple : donner l'écriture complexe de la réflexion vectorielle (i.e. la symétrie vectorielle orthogonale) de dans , d'axe la droite
vectorielle d'angle polaire , c'est-à-dire de vecteur directeur .

II.B -

II.B.1) Soit

un entier

. Montrer que le sous-ensemble

est un hyperplan vectoriel.
II.B.2) Soit

l'endomorphisme de

défini par

On pose, pour tout

entier de

, avec

Calculer . En déduire que est un automorphisme diagonalisable.
Calculer . Que dire du résultat obtenu?
II.B.3) En déduire une base de l'hyperplan .
II.C - On suppose, au cours de cette question, que le vecteur

appartient à l'hyperplan

, autrement dit que

.
II.C.1) Justifier l'existence et l'unicité de

tel que

.
II.C.2)

Montrer que

et que

.
II.C.3) On suppose que,

ce qui signifie que

On pose :

Montrer que :

Partie III - Étude des familles rationnelles de droites vectorielles

Toutes les droites considérées dans cette partie sont des droites vectorielles de

On rappelle que, pour tout élément

, on note

la droite vectorielle d'angle polaire

du plan vectoriel

. Soit

un entier

. Une famille

de droites, est dite

-rationnelle s'il existe un automorphisme

tel que

III.A - Exemples de familles de droites

rationnelles.
III.A.1) Montrer qu'une famille (

) réduite à une droite ainsi qu'une famille (

) constituée de deux droites distinctes sont

-rationnelles.
III.A.2) Montrer qu'une famille (

) constituée de trois droites deux à deux distinctes est elle aussi

-rationnelle.
III.B - Existence de familles de droites non

rationnelles.

Soit

une famille constituée de quatre droites deux à deux distinctes.
III.B.1) Pour tout

on note

un vecteur directeur de la droite

. Montrer que le rapport

ne dépend pas du choix des vecteurs directeurs

. Il est recommandé, pour la suite du problème, de les choisir unitaires en les écrivant

. Ce rapport sera noté

(F).
III.B.2) Soit

un automorphisme de

. On pose:

Montrer que

III.C -

III.C.1) Justifier l'existence, pour tout

, d'un polynôme

à coefficients dans

tel que

.
III.C.2) Soit

un entier,

. On considère une famille

de quatre droites deux à deux distinctes extraites d'une famille

- rationnelle

droites. Montrer l'existence d'une fraction rationnelle

à coefficients dans
le corps

des nombres rationnels, c'est-à-dire appartenant à

, telle que l'on ait

III.C.3) On admet l'existence de nombres réels n'appartenant pas à l'ensemble

Montrer que, pour tout entier

, il existe des familles non

rationnelles de

droites.

Partie IV - Identification par des rayons d'un polygone convexe.

Dans toute cette partie on se place dans .

Soient

un polygone convexe de

un réel de

. Pour tout réel

, on note

la droite affine de vecteur directeur d'affixe

passant par le point d'affixe

. On rappelle (cf. I.E.4. que l'intersection

, lorsqu'elle est non vide, est un segment. On note

sa longueur, que l'on prend nulle lorsque cette intersection est vide. On définit ensuite l'application

On considère deux polygones convexes

' de

Soit une droite vectorielle fixée, où et , sont dits -identifiables si les applications et , sont égales.
Soit une famille de droites vectorielles, avec . et ' sont dits -identifiables si pour tout les polygones et ' sont -identifiables, c'est-à-dire si

L'objectif de la partie IV - est de montrer qu'une famille convenablement choisie de quatre droites vectorielles suffit pour savoir si deux polygones convexes sont distincts.

IV.A -

IV.A.1) Trouver l'équation polaire de la droite

.
IV.A.2) Illustrer par un dessin la définition de la fonction

.
IV.B - Le but de cette question est de montrer que si

est une famille de droites vectorielles permettant de savoir si deux polygones convexes

' sont distincts alors

n'est pas

-rationnelle.
IV.B.1) Montrer que si

est une bijection affine de

de partie linéaire

, et si

; sont des polygones convexes

-identifiables, alors les polygones convexes

sont

-identifiables.
Dans toute la suite de cette question, soit

un entier,

. On pose

.
Le symbole

désignant l'affixe complexe du point

, on note

les points de

tels que

et on considère les deux polygones convexes distincts

.
IV.B.2) Prouver que pour tout

la réflexion affine

d'axe la droite

passant par

et de direction

vérifie

.
IV.B.3) Exhiber une famille

droites vectorielles telle que les polygones convexes

' soient

- identifiables.
IV.B.4) En déduire que, pour toute famille

rationnelle

droites vectorielles, il existe au moins deux polygones convexes distincts

' qui soient

-identifiables.
IV.C - Réponse au problème de la reconnaissance de deux polygones convexes distincts

'.
Soit

une famille de

droites vectorielles distinctes avec

. On admet que s'il existe deux polygones convexes distincts

-identifiables, alors

est nécessairement extraite d'une famille

-rationnelle.
Soit

une famille de quatre droites vectorielles distinctes telle que

avec

ce qui est possible d'après la question III.C.3.
Montrer que si

' sont des polygones convexes

-identifiables alors on a