Centrale Mathématiques 2 PC 2025

Si et sont deux entiers tels que , on note l'ensemble des entiers tels que .
Pour , on appelle polynôme trigonométrique de degré inférieur ou égal à toute fonction de dans de la forme

où, pour tout . On note l'ensemble des polynômes trigonométriques de degré inférieur ou égal à . C'est un -espace vectoriel, ce qu'on ne demande pas de vérifier.

On note le -espace vectoriel des fonctions continues -périodiques de dans et le sous-espace vectoriel des fonctions de classe -périodiques. Pour et , on pose :

Pour toute fonction bornée de dans , on pose :

Q1. Montrer que si est la fonction sinus, alors, pour tout .
Q2. (a) Montrer que, pour tous et est un réel bien défini.
(b) On suppose que . Montrer que, pour tout . En déduire que .

On admet que est vrai pour tout .
Q3. Soit et deux réels strictement positifs et soit .
(a) Montrer que, si , alors .
(b) Montrer que .
(c) En déduire que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 et pour tout réel strictement positif :

Q4. Soit . Montrer que pour tout ,

Q5. Soit et . Pour tout , on note la fonction de dans définie par

Montrer que définit un endomorphisme de .

Pour tout , on définit la fonctions de dans en posant, pour tout ,

Dans cette sous-partie, on fixe un entier .
Q6. Montrer que, pour tout réel n'appartenant pas à ,

Q7. Montrer que et appartiennent à , puis que appartient à .
Q8. Montrer qu'il existe un réel strictement positif tel que .
Pour tout , on pose désormais , de sorte que est une fonction réelle positive vérifiant

Soit .
Q9. Montrer que .
Q10. Montrer que pour .
Q11. En déduire que .
Q12. En déduire également que .
Q13. Montrer qu'il existe tel que, pour tout .

Dans cette sous-partie, on fixe .
Pour tout , on définit la fonction en posant, pour tout ,

L'objectif de cette sous-partie est de montrer que ( ) est une suite de polynômes trigonométriques qui converge uniformément vers sur .

Q14. Pour tous et , montrer que

En déduire que .
Q15. Le cas . On suppose, seulement dans cette question, que est .
(a) Montrer que, pour tout ,

où le réel a été défini à la question Q13.
(b) Conclure que ( ) est une suite de polynômes trigonométriques qui converge uniformément vers sur .

Q16. Le cas . Dans cette question, on ne suppose plus que est de classe .
On rappelle le résultat admis à la question Q2 : .
(a) Montrer que, pour tout et tous réels et ,

(b) En déduire qu'il existe tel que, pour tout ,

(c) Conclure que la suite ( ) converge uniformément vers sur .

Dans cette partie, on considère l'espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes. Pour , on note le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à .

Dans cette sous-partie on fixe un entier et on note le polynôme .
Q17. Montrer que admet racines simples dans .
On note les racines de .
Q18. Soit . Montrer que .
Soit . On considère la fonction rationnelle donnée par .
On rappelle que, par décomposition en éléments simples de , il y a existence et unicité de dans et de dans tels que

Q19. Montrer que, pour tout et que est soit le polynôme nul, soit le polynôme constant égal à 1 .

Q20. Calculer et en déduire que .
Q21. En déduire que :
(a) pour tout polynôme ;
(b) .

Pour tout , on pose .
Q22. Montrer que . .
Q23. Montrer que, si est un nombre complexe de module 1 et si , alors est un réel négatif.
Q24. À l'aide de , en déduire que pour tout .
Q25. En déduire que pour tout .

Soit une fonction définie sur un intervalle et à valeurs dans et soit .
On dit que est -höldérienne s'il existe tel que, pour tous réels et de l'intervalle .

Soit et soit la fonction définie sur par .
Q26. Soit un réel positif, montrer que pour tout on a : .
Q27. En déduire que est -höldérienne sur .
Q28. Soit tel que . Montrer que n'est pas -höldérienne.
Soit la fonction définie sur par

Q29. Soit . Montrer que pour tout .
Q30. En déduire que est -höldérienne sur pour tout .

Dans la suite du problème, pour , on note l'ensemble des fonctions -höldériennes -périodiques de dans .
Pour tout , on pose .
Q31. Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
Q32. Montrer que si , alors .

L'objectif de cette sous-partie est d'établir une réciproque à la question Q32.
On fixe un réel et une fonction telle que . Il existe ainsi un réel tel que, pour tout .

Q33. Pour , montrer qu'il existe tel que .

Pour tout , on considère un polynôme tel que .
Q34. Montrer, en appliquant l'inégalité établie à la question Q25, qu'il existe un réel tel que, pour tout ,

Q35. En déduire que, pour tout ,

Q36. En déduire l'existence d'un réel tel que, pour tout ,

Q37. Montrer que, pour tout .
Q38. En déduire que est -höldérienne.
Indication : lorsque , on pourra choisir tel que et majorer à l'aide de la question précédente.