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Centrale Mathématiques 2 PC 2024

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales à paramètresSuites et séries de fonctionsSéries et familles sommablesIntégrales généralisées
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Banque
Centrale
Année
2024
Filière
PC
Matière
Maths
Centrale PCCentrale 2024PC MathsMaths 2024
2025_08_29_30a3c0759d0c7f85715ag

Notations

Dans ce problème, on introduit la notion de produit infini et on l'utilise pour obtenir diverses propriétés.
  • La partie I permet d'obtenir des résultats qui seront utilisés dans tout le problème.
  • La partie II étudie quelques exemples de calcul de produit infini, dont celui de Wallis, et donne par ailleurs une illustration en probabilités.
  • La partie III permet de montrer, sous certaines conditions, la continuité ou le caractère d'une fonction définie par un produit infini de fonctions.
  • La partie IV a pour but d'exprimer la fonction sinus sous forme de produit infini et, en s'appuyant sur la partie III, d'en tirer quelques conséquences.
  • Enfin, la partie V étudie la fonction . Elle utilise quelques résultats des parties I, III et IV.
Pour , on note la partie entière de .
Soit et une suite de nombres réels. On pose pour tout tel que ,
On dit que la suite est la suite des produits partiels du produit infini .
Si la suite converge, on dit que sa limite est la valeur du produit infini et on pose:

I Résultats préliminaires

Soit .
Q 1. Montrer que, pour tout ,
Q 2. Montrer que, pour tout ,
Soit . Pour tout , on pose
Le but de cette sous-partie est de montrer que la suite converge vers .
Q 3. Montrer que, pour tout ,
Q 4. Soit et . On note .
Montrer que .
Q 5. Montrer que, pour tout .
Q 6. Conclure que la suite converge vers .

II Exemples de calcul de produit infini

II.A - Q 7. Calculer et .
On pourra, pour tout , établir une expression de et de .
II.B - Pour tout , on pose
Q 8. Montrer que, pour tout et en déduire que, pour tout ,
Q 9. Déterminer un équivalent de la suite et en déduire .
II. - On considère ( ) un espace probabilisé et une suite d'événements indépendants tels que la série numérique diverge.
Q 10. Soit . Montrer que .
On pourra utiliser l'inégalité démontrée en Q 2.
Q 11. En déduire que .

III Étude d'une fonction définie par un produit infini

On considère dans cette partie :
  • et deux réels tels que et le segment .
    une suite de fonctions définies sur à valeurs dans .
  • Pour tout et :
    et sous condition d'existence .
    III. - On suppose dans cette sous-partie que est une suite de fonctions continues sur et que la série de fonctions converge uniformément sur vers la fonction .
Q 12. Montrer qu'il existe tel que, pour tout et ,
Q 13. Montrer que, pour tout et ,
Q 14. En déduire que la suite de fonctions converge uniformément sur vers la fonction définie sur par :
Q 15. Montrer que la fonction est continue et ne s'annule pas sur .
III.B - Pour tout , on pose .
Q 16. Montrer que est définie et continue sur .
Q 17. Dresser le tableau de variations de sur puis calculer les limites de en 0 et en .
III. - On suppose dans cette sous-partie que est une suite de fonctions de classe sur telle que:
  • la série de fonctions converge uniformément sur .
  • la série de fonctions converge uniformément sur .
Q 18. Montrer que, pour tout et ,
Q 19. En déduire que la fonction
est de classe sur et que

IV Expression de la fonction sinus comme produit infini

IV.A - Pour tout , on pose
Dans les questions Q20 à Q23, on fixe un entier naturel .
Q 20. Montrer que est un polynôme de degré .
Q 21. Pour tout , on note . Montrer que l'ensemble des racines de est .
Q 22. En déduire qu'il existe tel que
Q 23. En calculant , montrer que :
Q 24. Montrer que la suite de fonctions converge simplement sur vers la fonction sinus.
IV.B - Dans cette sous-partie, on fixe un réel et on considère la suite de fonctions de dans définie par:
Q 25. Montrer que, pour tout et tel que ,
Q 26. Montrer que, pour tout et ,
Q 27. En déduire que la série de fonctions converge uniformément sur .
Q 28. Calculer, pour tout et, pour tout .
Q 29. En déduire que :

IV.C -

Q 30. Montrer que, pour tout ,
Q 31. En déduire que .
On pourra dans un premier temps déterminer .

V Autour de la fonction

Pour tout , on pose
Q 32. Montrer que est une fonction définie et continue sur .
Pour tout et tout , on pose
Q 33. Montrer que, pour tout et tout ,
Q 34. Montrer que, pour tout ,
Q 35. En déduire que, pour tout .
Soit . Montrer que .
V. Q 37. Montrer qu'il existe tel que
Q 38. En déduire que, pour tout ,
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