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Centrale Mathématiques 2 PC 2023

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Séries entières (et Fourier)Probabilités finies, discrètes et dénombrementPolynômes et fractionsSéries et familles sommables
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Année
2023
Filière
PC
Matière
Maths
Centrale PCCentrale 2023PC MathsMaths 2023
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Notations

désigne l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à à coefficient réels.
désigne la famille de polynômes définie par et, pour tout .
Pour , on note le coefficient binomial parmi . On a et si .
désigne l'ensemble des entiers compris entre et . Ainsi, .

I Utilisation de séries entières

I.A - Une première formule

Q 1. Donner sans démonstration le rayon de convergence et la somme de la série entière réelle .
Q 2. En déduire le rayon de convergence et la somme de la série entière réelle .
Q 3. Pour , montrer que la série entière admet 1 pour rayon de convergence et que, pour tout ,

I.B - Utilisation d'une famille de polynômes

Pour tout , on note .
Q 4. Montrer que, pour tout est définie sur .
Q 5. Soit . Montrer que est une base de et qu'il existe une unique famille dans telle que .
Q 6. Pour , donner les valeurs de et .
Q 7. Pour tout couple tel que , montrer que .
Q 8. Écrire une fonction Python alpha qui prend un couple d'entiers en paramètre et qui renvoie la valeur de . On supposera avoir accès à une fonction binome telle que binome ( ) renvoie le coefficient binomial .
Q 9. Montrer que, pour tout , il existe un unique polynôme réel tel que, pour tout , et que ce polynôme vérifie la relation
Q 10. À l'aide de la fonction Python alpha, écrire une fonction Python P qui prend l'entier en paramètre et qui renvoie la liste des coefficients de degré 0 à de .
Q 11. Montrer que, pour tout .
Q 12. Calculer explicitement et .
Q 13. Déterminer, pour tout , le degré de ainsi que son coefficient dominant.
Q 14. Montrer que, pour tout et pour tout .
Q 15. En déduire, pour tout et pour tout , un lien entre les coefficients de degré et de .

I.C - Une dernière formule

On s'intéresse dans cette sous-partie à la série entière dont on note le rayon de convergence.
Q 16. Déterminer et montrer que, pour tout .
Q 17. Montrer que, pour tout ,
Q 18. En déduire que, pour tout ,
Q 19. Montrer que, pour tout ,

II Étude de sommes doubles

On considère dans cette partie des familles de nombres réels indexées par c'est-à-dire du type . Dans ce contexte, on se demande s'il est possible de définir les quantités et et si ces quantités, lorsqu'elles sont définies, sont nécessairement égales.
On rappelle et on admet les deux résultats suivants.
  • Si pour tout , alors les deux sommes et existent dans et sont égales. En particulier (cas d'une famille sommable de réels positifs), si l'une des sommes est finie, l'autre aussi et elles sont égales.
  • (Cas d'une famille sommable de réels quelconques.) Si est une famille de nombres réels telle que la somme est finie, alors les sommes et existent et sont égales.

II.A - Applications

II.A.1) Une première application

Soit .
Q 20. Montrer que la série converge et que .
Q 21. Montrer que la série converge et que sa somme est égale à celle de la série .

II.A.2) Une seconde application

On admet que .
Q 22. Montrer que l'on peut définir, pour tout .
Q 23. Montrer que la série converge et calculer sa somme.

II.B - Contre-exemples

II.B.1) Un premier contre-exemple

On considère la famille définie, pour tout
Q 24. Montrer l'existence de et calculer sa valeur.
Q 25. Montrer l'existence de et calculer sa valeur.
Q 26. A-t-on ?

II.B.2) Un second contre-exemple

On considère la famille définie, pour tout
Q 27. Montrer l'existence de et calculer sa valeur.
Q 28. Soit . Montrer que la série converge et que .
Q 29. Quelle est la nature de la série ?

III Probabilités

Dans cette troisième partie, toutes les variables aléatoires considérées sont des variables aléatoires discrètes définies sur un même espace probabilisé ( ).
La lettre désigne un nombre réel de l'intervalle .

III.A - Un conditionnement

Soit une variable aléatoire à valeurs dans suivant la loi géométrique de paramètre :
Soit une variable aléatoire à valeurs dans telle que, pour tout , la loi conditionnelle de sachant est la loi de Poisson de paramètre :
Q 30. Déterminer la loi conjointe de et .
Q 31. Calculer et montrer que, pour tout ,
où est la fonction définie en I.B.
Q 32. Vérifier que l'on a bien .
Q 33. Montrer que admet une espérance finie et calculer cette espérance.
Q 34. Montrer que admet une variance et calculer cette variance.

III.B - Pile ou face infini

On considère la répétition infinie du lancer d'une pièce dont la probabilité de «faire pile» est . Pour modéliser cette expérience, on admet que l'on peut définir une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre . Pour tout désigne l'événement « le -ième lancer donne pile » et [ ] désigne l'événement «le -ième lancer donne face».
Par ailleurs, pour tout , on définit et par
  • : «à l'issue des premiers lancers, il y a autant de piles que de faces »;
  • : «à l'issue des premiers lancers, il y a pour la première fois autant de piles que de faces ».
Par exemple si les six premiers lancers donnent dans l'ordre (face, face, pile, pile, face, pile), n'est pas réalisé mais et le sont, est réalisé mais et ne le sont pas.
Enfin on définit , « au bout d'un certain nombre (non nul) de lancers, il y a autant de piles que de faces ».
On admet que, pour tout et sont des événements, et que est un événement.
Q 35. Soit . Exprimer à l'aide de la variable aléatoire et en déduire .
Q 36. Montrer que les événements sont deux à deux incompatibles.
Q 37. Montrer que est un événement et que .
Q 38. On pose . Montrer que, pour tout .
Q 39. À l'aide notamment de la formule (I.3), montrer que, pour tout ,
Q 40. On suppose que , montrer que (on pourra utiliser la formule (I.2)).
Q 41. On suppose que , montrer que .
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