Centrale Mathématiques 2 PC 2021

Dans tout ce sujet, est un intervalle de d'intérieur non vide et est une fonction continue et strictement positive de dans ; on dit que est un poids sur .
Étant donnée une fonction continue telle que est intégrable sur , on cherche à approcher l'intégrale par une expression de la forme

où et sont points distincts dans .
Une telle expression est appelée formule de quadrature et on note

l'erreur de quadrature associée. On remarque que est une forme linéaire sur l'espace vectoriel des fonctions de dans telles que est intégrable sur .
On rappelle qu'un polynôme est dit unitaire si son coefficient dominant est 1 .
Étant donné un entier , on note l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à . On dit qu'une formule de quadrature est exacte sur ,

ce qui signifie que, pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à ,

Enfin, on appelle ordre d'une formule de quadrature le plus grand entier pour lequel la formule de quadrature est exacte sur .
Les parties II et III s'appuient sur la partie I et sont indépendantes entre elles.

Dans cette sous-partie, on se place dans le cas et . On cherche donc à approcher lorsque est une fonction continue de dans .
Q 1. Déterminer l'ordre de la formule de quadrature et représenter graphiquement l'erreur associée .
Q 2. Faire de même avec la formule de quadrature .
Q 3. Déterminer les coefficients pour que la formule soit exacte sur . Cette formule de quadrature est-elle d'ordre 2 ?

On revient au cas général.
Soit . On considère points distincts dans , notés , et une fonction continue de dans .

Q 4. Montrer que l'application linéaire est un isomorphisme.
Q 5. Montrer que, pour tout , il existe un unique polynôme tel que

Q 6. Montrer que est une base de .
Cette base est appelée base de Lagrange associée aux points ( ).
Q 7. On suppose que, pour tout est intégrable sur . Montrer que la formule de quadrature est exacte sur si, et seulement si,

Q 8. On se place dans le cas et . Déterminer la base de Lagrange associée aux points ( ) et retrouver ainsi les coefficients de la formule de quadrature de la question 3.

Dans cette sous-partie, on suppose que l'intervalle est un segment : , avec .
Pour tout entier naturel , on considère la fonction définie par

On observe que est continue si et discontinue si .
On considère une formule de quadrature .
On note l'ordre de cette formule et on cherche à évaluer l'erreur associée :

On suppose que est de classe sur .
Q 9. À l'aide de la formule de Taylor avec reste intégral, montrer que , où est définie par

Q 10. En déduire que, si ,

où la fonction est définie par

On pourra utiliser le résultat admis suivant : pour toute fonction continue , on a

La fonction est appelée noyau de Peano associé à la formule de quadrature.
On admet que cette expression de reste valable pour .

Dans cette sous-partie, on suppose que est un segment et .
On se place d'abord dans le cas et on considère la formule de quadrature

qui est d'ordre (on ne demande pas de le montrer).
Q 11. Calculer le noyau de Peano associé et montrer que, pour toute fonction de classe de dans , on a la majoration suivante de l'erreur de quadrature associée:

On se place maintenant dans le cas d'un segment quelconque (avec ), qu'on subdivise en points équidistants:

où est le pas de la subdivision.
On considère alors la formule de quadrature

appelée méthode des trapèzes. L'erreur de quadrature associée est notée:

Q 12. Représenter graphiquement .
Q 13. On suppose que est une fonction de classe de dans . Montrer que

où est l'erreur associée à la formule de quadrature étudiée à la question 11 et les sont des fonctions à préciser.
Q 14. En déduire la majoration d'erreur

Dans la suite, on note l'ensemble des fonctions continues de dans telles que est intégrable sur .

Q 15. Montrer que, pour toutes fonctions et de , le produit est intégrable sur . On pourra utiliser l'inégalité , après l'avoir justifiée.
Q 16. Montrer que est un -espace vectoriel.
Pour toutes fonctions et de , on pose

Q 17. Montrer qu'on définit ainsi un produit scalaire sur .

Dans la suite, on munit de ce produit scalaire et on note la norme associée.

On suppose que, pour tout entier , la fonction est intégrable sur . Cela entraine par linéarité de l'intégrale que contient toutes les fonctions polynomiales.
On admet qu'il existe une unique suite de polynômes telle que
(a) pour tout est unitaire,
(b) pour tout ,
(c) la famille est orthogonale pour le produit scalaire , autrement dit , pour .
On dit que les sont les polynômes orthogonaux associés au poids .
On s'intéresse aux racines des polynômes .
On rappelle que désigne l'intérieur de , c'est-à-dire l'intervalle privé de ses éventuelles extrémités.
On a donc , où et .
Soit . On note les racines distinctes de qui sont dans et leurs multiplicités respectives. On considère le polynôme

Q 18. En étudiant , montrer que possède racines distinctes dans .

Considérons une formule de quadrature

où et sont points distincts dans .
On suppose que les coefficients sont choisis comme à la question 7 :

où est la base de Lagrange associée aux points (définie dans la partie I).
Ainsi, la formule est d'ordre . Nous allons montrer que dans ces conditions, il existe un seul choix des points qui permet d'obtenir l'ordre le plus élevé possible.
Q 19. En raisonnant avec le polynôme , montrer que .
Q 20. Montrer que si et seulement si les sont les racines de .

On se place ici dans le cas où et .
On est donc bien dans les conditions d'application des résultats précédemment obtenus.
Q 21. Déterminer les quatre premiers polynômes orthogonaux associés au poids .
Q 22. En déduire explicitement une formule de quadrature d'ordre 5 (on déterminera les points et les coefficients ).

Dans cette sous-partie, et .
Q 23. Montrer que, pour tout entier , la fonction est intégrable sur .
Cela entraine que contient toutes les fonctions polynomiales.
Dans la suite, on considère, pour tout entier , la fonction .

Q 24. Calculer et pour tout , exprimer simplement en fonction de et .
Q 25. En déduire que, pour tout est polynomiale et déterminer son degré et son coefficient dominant.
Dans la suite, on notera également le polynôme de qui coïncide avec sur .
Q 26. On note la suite de polynômes orthogonaux associés au poids . Montrer que

Q 27. Pour , déterminer explicitement les points de telle que la formule de quadrature soit d'ordre maximal.

On dit qu'une fonction définie sur une partie de est développable en série entière au voisinage de 0 s'il existe un disque ouvert non vide de centre 0 et une suite complexe telle que .

On considère une série entière , de rayon de convergence et avec . On note la somme de cette série entière sur son disque de convergence : pour tout vérifiant , on a

Q 28. Montrer qu'il existe un réel tel que .
Q 29. On suppose que est développable en série entière au voisinage de 0 et on note son développement. Calculer et, pour tout , exprimer en fonction de .
En déduire que

Q 30. Montrer que est développable en série entière au voisinage de 0 .
Q 31. En utilisant ce qui précède, montrer qu'il existe une unique suite complexe et un réel tels que, pour tout ,

Q 32. En effectuant un produit de Cauchy, montrer que et, pour tout entier ,

Q 33. En déduire la valeur de et .
Q 34. En utilisant un argument de parité, montrer que pour tout entier .
Dans la suite du problème, on considère les polynômes définis par

On remarque que chaque polynôme est unitaire de degré et que, pour tout .
Q 35. Déterminer et .
Q 36. Montrer que, pour tout entier , puis que, pour tout entier .

Dans cette sous-partie, on utilise les nombres et les polynômes définis dans la sous-partie III.A pour établir un développement asymptotique à tout ordre de l'erreur de quadrature associée à la méthode des trapèzes (déjà étudiée dans la partie I), pour une fonction suffisamment régulière.
Pour tout réel , on note sa partie entière.
On fixe un entier et on considère une fonction de classe .
Q 37. Montrer que

Q 38. En déduire que pour tout entier ,
.
On considère maintenant une fonction de classe et la formule de quadrature déjà étudiée à la partie I :

(méthode des trapèzes), où et .
Q 39. Montrer que, pour tout entier ,

où les coefficients sont donnés par

et est un reste intégral vérifiant la majoration

où est une constante à préciser ne dépendant que de et .
On a donc établi, pour tout entier , le développement asymptotique

où les coefficients sont indépendants de .