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Centrale Mathématiques 2 PC 2020

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementIntégrales à paramètresSuites et séries de fonctionsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généralisées
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Centrale
Année
2020
Filière
PC
Matière
Maths
Centrale PCCentrale 2020PC MathsMaths 2020
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Fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle

Soit ( ) un espace probabilisé, où est une tribu sur et une probabilité sur ( ). Toutes les variables aléatoires sont discrètes, à valeurs réelles ou complexes, définies sur ( ). Si la variable aléatoire est d'espérance finie, on note son espérance. Pour tout nombre complexe , on note sa partie réelle, sa partie imaginaire et son conjugué. On appelle sinus cardinal la fonction définie, pour tout réel On admet que cette fonction est continue et que pour tout réel .
On étend aux variables aléatoires discrètes à valeurs complexes la notion d'espérance définie pour les variables aléatoires discrètes réelles. Ainsi, on dit qu'une variable aléatoire discrète à valeurs complexes est d'espérance finie si les variables aléatoires réelles et sont d'espérance finie et on définit alors l'espérance de par
On admettra les résultats suivants qui étendent aux variables aléatoires complexes les résultats analogues sur les variables aléatoires réelles.
  • Toute variable aléatoire complexe finie est d'espérance finie. Si , où les sont deux à deux distincts, alors
  • Théorème du transfert (cas fini). Soit une variable aléatoire réelle d'image finie où les sont deux à deux distincts et soit une application à valeurs complexes définie sur . Alors est d'espérance finie et
  • Soit une variable aléatoire complexe telle que soit dénombrable égal à où les sont deux à deux distincts. Alors est d'espérance finie si, et seulement si, la série converge absolument. Dans ce cas,
  • Théorème du transfert (cas dénombrable). Soit une variable aléatoire réelle d'image dénombrable où les sont deux à deux distincts et soit une application à valeurs complexes définie sur .
    Alors est d'espérance finie si, et seulement si, la série converge absolument. Dans ce cas,
  • Soit une variable aléatoire complexe et sa variable aléatoire conjuguée.
Si est d'espérance finie, alors est d'espérance finie et .
  • Soit et deux variables aléatoires complexes d'espérance finie et soit .
Alors et sont d'espérance finie et et .

I Fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle

À toute variable aléatoire réelle discrète , on associe une fonction , appelée fonction caractéristique de et définie par

I.A - Premières propriétés

Dans cette sous-partie, est une variable aléatoire réelle discrète.
Q 1. On suppose, dans cette question, que est un ensemble fini de cardinal .
On note où les sont deux à deux distincts, et, pour tout entier .
Montrer que, pour tout réel .
Q 2. On suppose dans cette question que est un ensemble dénombrable. On note où les sont deux à deux distincts. Pour tout , on pose .
Montrer que est définie sur et que, pour tout réel .
Q 3. Montrer que est continue sur .
Q 4. Soit et deux réels et . Pour tout réel , exprimer en fonction de et .
Q 5. Soit . Donner une expression de en fonction de . En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur l'image pour que la fonction soit paire.

I.B - Trois exemples

Q 6. Soit et . On suppose que suit une loi binomiale et on note . Montrer que, pour tout .
Q 7. Soit . Quelle est la fonction caractéristique d'une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre ?
Q 8. Soit . Quelle est la fonction caractéristique d'une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre ?

I.C - Image de

On se donne ici une variable aléatoire réelle discrète , dont on note la fonction caractéristique. Pour tout désigne l'ensemble .
Q 9. Montrer que pour tout .
Q 10. Montrer que, s'il existe et tels que , alors .
On suppose réciproquement qu'il existe tel que .
Dans la suite de cette sous-partie I.C, on suppose de plus que est dénombrable et on reprend les notations de la question 2.
Q 11. Montrer qu'il existe tel que .
Q 12. En déduire que .
Q 13. Montrer que pour tout , si , alors .
Q 14. En déduire que .

II Fonction caractéristique et loi d'une variable aléatoire

L'objectif de cette partie est de montrer que la fonction caractéristique d'une variable aléatoire détermine sa loi. Deux méthodes de démonstration sont proposées.

II.A - Première méthode

Soit une variable aléatoire réelle et discrète et .
Pour , on pose .
II.A.1) On suppose que est fini et on reprend les notations de la question 1.
Q 15. Montrer que, pour tout , on a .
Q 16. En déduire que .
II.A.2) On suppose que est dénombrable et on reprend les notations de la question 2.
Pour et , on pose .
Q17. Montrer que pour tout , on a .
Q 18. Montrer que la fonction se prolonge en une fonction définie et continue sur .
Q 19. Montrer que la fonction est définie et continue sur .
Q 20. Établir que .

II.A.3) Application

Q 21. Soient et deux variables aléatoires discrètes telles que . Montrer que, pour tout , autrement dit que et ont la même loi.

II.B - Deuxième méthode

Si et sont deux réels, on note la fonction définie pour tout réel par
Q 22. À l'aide de séries entières, montrer que est de classe sur .
Soit un entier naturel et soit la fonction définie, pour tout réel .
Q 23. Montrer que est de classe sur et que, pour tout réel .
Q 24. Montrer que .
Q 25. Montrer que l'intégrale est convergente.
On admettra dans la suite que .
Q 26. En déduire l'existence et la valeur de dans le cas où .
Q 27. Soit une variable aléatoire telle que est fini. On suppose que les réels et n'appartiennent pas à . Montrer que

III Régularité de

On fixe dans cette partie une variable aléatoire réelle , dont l'image est un ensemble dénombrable et on reprend les notations de la question 2.
On cherche à établir des liens entre des propriétés de la loi de et la régularité de .
Pour tout , on dit que admet un moment d'ordre si la variable aléatoire est d'espérance finie.

III.A -

Soit . On suppose dans cette sous-partie III.A que admet un moment d'ordre .
Q 28. Soit un entier tel que . Montrer que pour tout réel et en déduire que admet un moment d'ordre .
Q 29. En déduire que est de classe sur et donner une expression de la dérivée -ième de .
Q 30. En déduire une expression de en fonction de .

III.B -

On suppose dans cette sous-partie III.B que est de classe sur .
Q 31. On note la fonction qui à tout réel associe . Quelle est la limite de en 0 ?
Q 32. Montrer que pour tout .
Q 33. En déduire que admet un moment d'ordre 2 .

III. C -

On fixe dans cette sous-partie III.C un entier naturel et on suppose à la fois que est de classe sur et que admet un moment d'ordre . On note .
Q 34. Que peut-on dire de si est nul ?
On suppose dorénavant que le réel est strictement positif.
Q 35. Soit une variable aléatoire vérifiant et, pour tout ,
Montrer que est de classe sur .
Q 36. En déduire que admet un moment d'ordre .
Q 37. Soit . Déduire des questions précédentes que si est de classe sur , alors admet un moment d'ordre .

IV Développement en série entière de

Soit une variable aléatoire réelle.

IV.A -

On suppose que est fini et on reprend les notations de la question 1 .
Q 38. Montrer que est développable en série entière sur et, pour tout réel .

IV.B -

On suppose que est dénombrable et on reprend les notations de la question 2.
On suppose également que, pour tout entier admet un moment d'ordre et qu'il existe un réel tel que
Q 39. Montrer que pour tout et tout .
Q 40. En déduire que pour tout réel ,
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