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Centrale Mathématiques 2 PC 2014

Symétries, quaternions, et sommes de carrés.

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Algèbre linéaireAlgèbre généraleNombres complexes et trigonométries, calculs, outilsAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéduction
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2014
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Maths
Centrale PCCentrale 2014PC MathsMaths 2014
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Symétries, quaternions et sommes de carrés

Dans ce problème, on s'intéresse aux sommes de carrés d'éléments dans un anneau commutatif. On voit en particulier des formules pour le produit de deux sommes de carrés pour et 8 , et on démontre qu'il n'existe pas de formule analogue pour les autres valeurs de , ce qui constitue un théorème établi par Hurwitz en 1898.
La partie I étudie des familles de symétries. La partie II introduit l'algèbre des quaternions ; pour l'essentiel elle est indépendante de la partie I. Dans la partie III, on établit le théorème de Hurwitz en utilisant les parties I et II. Dans la partie IV, on étudie le théorème des quatre carrés d'un point de vue algorithmique. Dans la partie V , on démontre le théorème des quatre carrés en s'appuyant sur la partie II.

I Symétries vectorielles

Dans cette partie, on considère un espace vectoriel de dimension finie sur le corps des nombres complexes.
Soient et deux sous-espaces supplémentaires de (i.e. ). On appelle symétrie (vectorielle) de par rapport à parallèlement à l'endomorphisme de défini par . Pour tout endomorphisme de , on pose et .

I.A - Symétries et involutions

I.A.1) Soient et deux sous-espaces supplémentaires de et la symétrie par rapport à parallèlement à .
a) Montrer que et .
b) Montrer que . En déduire que est un automorphisme de .
c) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de . On discutera selon les sous-espaces et .
I.A.2) Soit un endomorphisme de tel que . On pose et .
a) Montrer que et sont deux sous-espaces supplémentaires de .
b) En déduire que est une symétrie dont on précisera les éléments.

I.B - Couples de symétries qui anticommutent

I.B.1) Soient et deux symétries de qui anticommutent, c'est-à-dire telles que .
a) Prouver les égalités et .
b) En déduire que et ont la même dimension et que est pair.

I. -systèmes

On appelle -système d'endomorphismes de toute famille finie de symétries de qui anticommutent deux à deux, c'est-à-dire toute famille finie ( ) d'endomorphismes de tels que
De même, on appelle -système de matrices de taille toute famille finie ( ) de matrices de telles que
Dans les deux cas, est appelé longueur du H-système.
I.C.1) Montrer que la longueur d'un H -système d'endomorphismes de est majorée par .
I.C.2) Montrer que l'existence d'un H -système ( ) de équivaut à l'existence d'un H -système de matrices de taille . En déduire que la longueur d'un H-système de ne dépend que de la dimension de et pas de l'espace .
On note le plus grand nombre entier tel que admet un H-système de cardinal .
I.C.3) Soit un entier impair. Prouver que .

I.D - Majoration de

I.D.1) On suppose ici que est pair et on pose . On considère:
  • un H-système de ,
  • le sous-espace ,
  • pour , l'endomorphisme de .
    a) Montrer que, pour tout , le sous-espace est stable par .
    b) Pour , soit l'endomorphisme de induit par . Montrer que ( ) est un H-système de .
    c) En déduire .
    I.D.2) Montrer que si avec impair, alors .

I.E - Constructions de H-systèmes maximaux

I.E.1) Soient et un H -système de matrices de taille c'est-à-dire tel que
En considérant les matrices suivantes de écrites par blocs
montrer que .
I.E.2) Déterminer en fonction de l'unique entier tel que s'écrive avec impair.
I.E.3) Écrire, pour chacun des entiers , un H -système de matrices de taille de longueur .

II Quaternions et sommes de quatre carrés

Pour , on désigne par la matrice carrée complexe .
Une matrice de la forme sera appelée quaternion. On considèrera en particulier les quaternions et on notera le sous-ensemble de constitué par tous les quaternions.
On veillera à ne pas confondre la matrice et la matrice unité .

II.A - Le «corps» des quaternions

On munit l'ensemble des matrices complexes à deux lignes et deux colonnes de l'addition + , de la multiplication usuelles et de la multiplication par un réel notée et définie usuellement par
On rappelle que ( ) est une algèbre sur le corps des réels.
II.A.1) a) Donner, sans justification, une base et la dimension de sur le corps .
b) Montrer que est un sous-espace vectoriel réel de et que en est une base sur le corps .
c) Montrer que H est stable par multiplication.
II.A.2) Montrer que ( ) est un sous-groupe non commutatif du groupe linéaire ( ).
( ) a toutes les propriétés d'un corps sauf la commutativité de : on dit que c'est un anneau à divisions (ou, parfois, un corps non commutatif).
II.A.3) a) Calculer les produits deux à deux des matrices . On présentera les résultats dans une table à double entrée.
b) En déduire que (i ) est un H-système.

II.B - Conjugaison et normes

Ainsi tout élément s'écrit de manière unique avec .
Pour et on pose et .
II.B.1) a) Vérifier que, pour tout est la transposée de la matrice dont les coefficients sont les conjugués des coefficients de .
b) En déduire que, pour tout .
c) Montrer que pour tout et que est un automorphisme du -espace vectoriel .
d) Pour , exprimer à l'aide de . En déduire la relation valable pour tout
II.B.2) a) Soient et . Exprimer la trace de la matrice en fonction du réel .
b) En déduire que, pour tout .
c) Soient des quaternions. Établir la relation .
En déduire l'identité .

III Un théorème de Hurwitz

Soit un entier naturel . On munit du produit scalaire usuel et de la norme euclidienne usuelle définis, pour tout et de , par
L'objet de cette partie est d'étudier l'existence d'une application bilinéaire vérifiant
III.A - Des formules pour
III.A.1) Montrer l'existence d'une telle application bilinéaire lorsque est l'un des entiers .
Pour (respectivement 4) on pourra considérer le produit de deux nombres complexes (respectivement de deux quaternions).
III.A.2) En utilisant la question II.B. 2 montrer, pour , l'existence d'une application bilinéaire vérifiant (III.1). On ne demande pas d'expliciter une application bilinéaire , mais seulement de prouver son existence.

III.B - Le théorème de Hurwitz

Dans la suite on suppose que et qu'il existe une application bilinéaire telle que
Soit la base canonique de et, pour , soit l'endomorphisme de défini par
La matrice de dans la base canonique de sera notée .
III.B.1) a) Prouver que, pour tout , on a
b) En déduire que les endomorphismes vérifient les relations
et plus généralement
c) Prouver que les matrices vérifient les relations et .
III.B.2) Pour on note la matrice complexe .
a) Prouver que ( ) est un H-système.
b) En déduire qu'on a l'inégalité où est défini dans la section I.C.
III.B.3) Prouver que est élément de .

IV Représentation des parties de et quelques algorithmes

Soient et deux parties de . On note l'ensemble des sommes d'un élément de et d'un élément de , c'est-à-dire .
Dans les questions suivantes, on supposera que les parties et considérées contiennent 0 de sorte que contiendra toujours et .
Soit . On représente une partie de par le tableau indexé de 0 à , tel que, pour , on ait si sinon.
IV.A - Écrire en langage Maple ou Mathematica une fonction ou une procédure carres telle que, pour , carres(N) retourne le tableau associé à l'ensemble des carrés inférieurs ou égaux à . On n'utilisera pas la fonction racine carrée.
On note la réunion de et de l'ensemble des nombres premiers.
Le crible d'Ératosthène est l'algorithme qui, dans un tableau des entiers de 1 à , consiste à :
  • à l'étape 1, supprimer les multiples de 2 strictement supérieurs à 2 ;
  • à l'étape 2, supprimer les multiples de 3 strictement supérieurs à 3 ;
  • à l'étape , supprimer les multiples stricts du plus petit entier qui n'a pas encore été supprimé.
À la fin du processus, les entiers supérieurs ou égaux à 2 qui n'ont pas été supprimés sont les nombres premiers inférieurs ou égaux à . (On ne demande pas de justifier ce résultat.)
IV.B - Écrire en langage Maple ou Mathematica une fonction ou une procédure Eratosthene utilisant l'algorithme ci-dessus et telle que, pour , Eratosthene(N) retourne le tableau associé à l'ensemble . On rappelle que est un tableau de 0 et de 1 , indexé de 0 à et caractérisé par
IV.C - Écrire en langage Maple ou Mathematica une fonction ou une procédure somme telle que, si et sont des tableaux de 0 et de 1 indexés de 0 à représentant respectivement les parties et de , somme ( ) retourne le tableau représentant l'ensemble des éléments de sommes d'un élément de et d'un élément de .
IV.D - En utilisant les fonctions ou les procédures carres et somme, écrire en langage Maple ou Mathematica une fonction ou une procédure quatrecarres telle que quatrecarres(N) retourne vrai si tout entier de 1 à est somme de quatre carrés d'entiers et retourne faux sinon.

V Sommes de carrés dans un anneau

Soit un anneau commutatif. Pour , on note l'ensemble des sommes de carrés d'éléments de .
Prouver que pour tout anneau , les ensembles sont stables pour la multiplication lorsque vaut ou 8.
On pourra utiliser les formes bilinéaires définies partie III et, éventuellement, se limiter au cas où l'anneau est l'anneau des entiers relatifs.

V. - Le théorème des quatre carrés

On note l'ensemble des quaternions «entiers».
V.B.1) a) Montrer que est un sous-groupe de pour l'addition et qu'il est stable par multiplication.
b) Montrer que pour tout , il existe tel que .
c) Quel est l'ensemble des tels que ?
V.B.2) Soit un nombre premier impair. Pour tout entier , on note le reste de la division euclidienne de par . On a donc et .
a) Montrer que la restriction de à est injective.
b) On considère les ensembles et .
Montrer que et sont inclus dans et que leur intersection est non vide. En déduire qu'il existe et tels que .
V.B.3) On suppose encore que est un nombre premier impair. Justifier qu'il existe et tels que . On choisit minimal et on suppose que .
a) Montrer que si était pair, un nombre pair des entiers serait impair et aboutir à une contradiction.
On pourra écrire .
b) On suppose impair. Montrer qu'il existe tel que .
c) Prouver que est dans et que est un multiple de strictement inférieur à . Conclure.
V.B.4) Montrer que tout entier naturel est somme de quatre carrés d'entiers.
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