Centrale Mathématiques 2 PC 2012

Dans tout le problème, le corps de base des espaces vectoriels est . Les matrices et les systèmes linéaires sont à coefficients réels. Les suites et les fonctions sont à valeurs réelles.

Ce problème porte sur des applications du théorème de structure de l'ensemble des solutions d'une équation linéaire.
Les parties sont largement indépendantes, mais les résultats numériques de la partie I sont utilisés dans les parties II et III.

Soit et deux espaces vectoriels sur ; soit une application linéaire de dans , et un élément de . Quelle structure possède l'ensemble des solutions de l'équation ?

On va étudier dans cette partie différentes déclinaisons de l'algorithme du pivot.

On considère le système linéaire

Afin de résoudre ce système, on a utilisé un algorithme du pivot : en effectuant des opérations sur les lignes, on a obtenu une séquence de systèmes équivalents avec de plus en plus de coefficients nuls. L'objectif est de résoudre le système en aboutissant à un système de la forme

où on a annulé tous les coefficients non diagonaux de la matrice du système (les coefficients au-dessous de la diagonale et les coefficients au-dessus de la diagonale). L'ordre choisi pour effectuer les opérations est indiqué sur le schéma que voici

Chaque numéro indique après combien d'opérations élémentaires le coefficient correspondant a été annulé. Chaque opération élémentaire est de la forme (avec ) et permet d'annuler le coefficient situé en ligne et colonne . Par exemple, la troisième étape a été une opération élémentaire de la forme (avec ) qui a permis d'annuler le coefficient placé à la position marquée du chiffre 3 sur le schéma.
À chaque étape de l'algorithme, on a représenté par un schéma les trois plans de correspondant aux équations du système linéaire. Ces schémas sont reproduits en figure 1, dans le désordre.
Reconstituer les étapes du calcul, et indiquer quel schéma correspond à chaque étape.

Dans cette question, on s'intéresse de nouveau au système

On considère ici les vecteurs colonnes

Pour résoudre le système, on cherche des réels et tels que . Pour cela, on va considérer le tableau

qu'on interprète comme une matrice. On utilise un algorithme du pivot sur les colonnes : par des opérations élémentaires sur les colonnes, on obtient des zéros à tous les emplacements marqués d'un numéro dans le schéma ci-dessous :

Comme pour la question précédente, chaque numéro indique après combien d'opérations élémentaires le coefficient correspondant a été annulé. Chaque opération élémentaire est de la forme (avec ). Par exemple, la première étape a été la réalisation de l'opération élémentaire , qui a fourni le tableau

Les deux dernières étapes ont été des opérations élémentaires de la forme (avec ) pour l'avant-dernière, et enfin (avec ) pour la dernière.
À chaque étape de l'algorithme, on a représenté sur la figure 2 les quatre vecteurs colonnes indiqués sur la première ligne de la matrice. Pour que le dessin soit plus facile à interpréter, surtout lorsque deux vecteurs sont presque colinéaires, les droites engendrées par les vecteurs ont été représentées par un trait fin. On a également représenté la construction géométrique traduisant l'opération élémentaire, le vecteur ayant été remplacé à une étape étant représenté par une ligne discontinue. Les figures correspondant à chacune des étapes de la résolution sont représentées dans le désordre.
Reconstituer les étapes du calcul, et indiquer quelle figure correspond à chaque étape. Expliquer aussi où on lit la solution du système dans la dernière matrice obtenue.

Dans cette question, on étudie un algorithme permettant d'obtenir dans un unique calcul une base du noyau d'une application linéaire et une base de son image. Comme l'image est dans l'espace d'arrivée et que le noyau est dans l'espace de départ, l'algorithme de calcul s'interprète comme deux pivots synchronisés, l'un avec des vecteurs de l'espace de départ, l'autre avec des vecteurs de l'espace d'arrivée.
Soit et deux espaces vectoriels sur de dimensions finies et ; soit une base de , et une base de ; soit une application linéaire de dans et sa matrice dans les bases et . On note les colonnes de .
Soit le tableau formé en ajoutant à la ligne supplémentaire . Le tableau comporte donc colonnes et lignes, la ( )-ième ligne étant ( ); les coefficients des premières lignes sont donc des scalaires, tandis que ceux de la dernière ligne sont des vecteurs. On note les colonnes de . L'algorithme de recherche simultanée d'une base de et d'une base de s'effectue grâce à des opérations élémentaires sur les colonnes de . Conformément à l'usage pour ces algorithmes, on notera encore les colonnes des tableaux obtenus aux différentes étapes. On notera , les colonnes correspondant aux premières lignes des tableaux obtenus aux différentes étapes de l'algorithme, et les coefficients de la dernière ligne de ces tableaux (on rappelle que ce sont des vecteurs de ). Conformément à l'usage, on identifie les vecteurs de et leurs colonnes associées dans la base .

Exemple - Si , et si est l'application de dans de matrice

le tableau s'écrit

Pour simplifier, on le notera avec un seul jeu de parenthèses,

On a alors

La double opération élémentaire conduit à

I.C.1) Au départ, quels sont les liens entre et , pour ? Que représentent pour ?
I.C.2) Après chaque étape de l'algorithme, préciser les liens entre et , pour . Que représentent pour ? Que représentent pour ?
I.C.3) À la fin de l'algorithme, on obtient un tableau pour lequel les colonnes forment une matrice échelonnée de colonnes non nulles, et les colonnes sont nulles. Expliquer où on lit une base de et où on lit une base de .

En utilisant l'algorithme que l'on vient d'étudier, déterminer une base du noyau et une base de l'image des endomorphismes et de dont les matrices respectives, dans la base canonique de sont

Dans cette partie, nous allons explorer sur des exemples les liens entre équations différentielles linéaires et relations de récurrence linéaires.

II.A.1) Déterminer le noyau de l'application , de dans qui, à une suite ) associe la suite .
Soit et trois réels, avec . On considère la relation de récurrence
II.A.2) Quelle est la structure algébrique de l'ensemble des suites réelles solutions de cette récurrence? Quelle est sa dimension? Comment fait-on pour déterminer l'ensemble des suites réelles vérifiant cette relation de récurrence? Quels cas doit-on distinguer pour la recherche des suites solutions?
II.A.3) Illustrer la méthode en déterminant l'ensemble des suites réelles vérifiant la relation de récurrence . On indiquera la dimension de l'espace vectoriel des solutions.
II.A.4) On suppose . Écrire en Maple ou en Mathematica une fonction de six variables telle que, pour tous réels et tout entier naturel, ) soit le terme d'ordre , c'est-à-dire , de la suite récurrente ( ) définie par

Dans la suite de cette partie, on va étudier en parallèle un système différentiel linéaire et un système d'équations de récurrence s'écrivant de façon analogue.
Le système différentiel a comme fonctions inconnues deux fonctions réelles et de classe sur , et s'écrit

Le système d'équations de récurrence porte sur deux suites réelles inconnues ( ) et ( ), et s'écrit, pour tout ,

Pour déterminer les solutions de et de , on va d'abord transformer leurs écritures pour se ramener à des systèmes équivalents écrits sous forme standard. On note

On a alors

On cherche une matrice carrée de taille permettant d'écrire et sous la forme et .

En utilisant l'algorithme du pivot, déterminer un système d'équations différentielles équivalent à et pouvant s'écrire sous la forme voulue .
Par la même méthode, déterminer un système d'équations de récurrence équivalent à et pouvant s'écrire sous la forme voulue .
On pourra diviser la feuille en deux colonnes pour traiter en parallèle les deux systèmes. Les calculs communs aux deux systèmes pourront alors n'être effectués qu'une seule fois.

On considère à présent le système différentiel et le système de récurrence , . On admettra que les dimensions de l'espace vectoriel des solutions de et de l'espace vectoriel des solutions de sont égales.
II.C.1) Si est une valeur propre réelle de , et si est un vecteur propre de pour la valeur propre , justifier que la fonction est une solution de .
Justifier aussi que la suite vectorielle est une solution de .
II.C.2) Si est diagonalisable sur et si est une base de vecteurs propres associés respectivement aux valeurs propres et (pas nécessairement distinctes), que représente la famille ( ) pour l'ensemble des solutions de ? Que représente la famille ( ) pour l'ensemble des solutions de ?

II.D.1) On considère à présent

À l'aide éventuellement de la calculatrice, calculer le polynôme caractéristique de , puis déterminer les valeurs propres de cette matrice, ainsi que des vecteurs propres associés à ces valeurs propres.
II.D.2) En déduire l'ensemble des solutions de et l'ensemble des solutions de . Déterminer enfin les ensembles de solutions respectifs de et de .

Soit le nombre maximal de zones distinctes de la sphère unité que cercles distincts tracés sur cette sphère peuvent déterminer.
III.A.1) Combien de points d'intersection peuvent avoir deux cercles tracés sur la sphère unité? (On justifiera succinctement.)
III.A.2) Déterminer et .
III.A.3) Montrer que la suite vérifie la relation de récurrence .

Soit l'endomorphisme de qui, à toute suite , associe la suite . Soit la suite de dans définie par pour tout . Soit enfin l'endomorphisme de défini par , où Id est l'application identité de .
III.B.1) Montrer qu'une suite vérifie la relation de récurrence si et seulement si . On note l'ensemble des suites vérifiant cette relation de récurrence. Préciser la structure de .
III.B.2) Déterminer le noyau de .
III.B.3) Pour tout entier naturel , soit l'espace vectoriel des suites réelles polynomiales de degré inférieur ou égal à , c'est-à-dire l'ensemble des suites ( ) pour lesquelles il existe un polynôme , à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à , vérifiant pour tout .
Quelle est la dimension de ?
Vérifier que, pour tout entier est stable par . On note la restriction de à .
Comparer et .
Montrer que, pour tout .

Déduire des questions précédentes qu'il existe un polynôme de degré tel que, pour tout entier , on ait .
Écrire le système d'équations donnant et . En déduire, pour tout , une expression de en fonction de .

Dans cette partie, on va d'abord explorer l'effet de la composition des applications sur des exemples simples d'équations fonctionnelles. On se concentrera ensuite sur l'équation fonctionnelle

en utilisant des propriétés linéaires en analyse.

IV.A.1) Soit l'ensemble des fonctions continues de dans telles que, pour tout , on ait . Quelle structure possède-t-il? (On vérifiera les hypothèses du théorème invoqué).
IV.A.2) Quelles sont les fonctions périodiques de dans possédant une limite en ?

IV.B.1) On considère l'équation fonctionnelle

Préciser l'ensemble des fonctions continues de dans vérifiant l'équation IV. 2 pour tout réel .
IV.B.2) On note lb la fonction logarithme binaire, définie par . Soit une solution sur de l'équation fonctionnelle IV.2. Déterminer une équation fonctionnelle vérifiée par sur , ainsi qu'une équation fonctionnelle vérifiée par sur .
Si est en outre de classe , déterminer une équation fonctionnelle vérifiée par la fonction dérivée de .
IV.B.3) Préciser l'ensemble (resp. ) des fonctions continues de dans (resp. de dans de dans ), telles que, pour tout (resp. ), on ait

IV.C - Étude de l'équation fonctionnelle IV. 1 - Recherche d'une première solution particulière Pour tout entier , soit la fonction de dans définie par .
IV.C.1) Montrer que la série de fonctions converge simplement sur .

Soit la somme de cette série de fonctions. Pour tout entier , on note la -ième somme partielle de définie par , et on note son reste d'ordre .
IV.C.2) Montrer que est de classe sur . Quelles sont les variations de ?
IV.C.3) Montrer que
IV.C.4) Montrer que pour tout , on a .

En déduire un équivalent de au voisinage de .

Soit la fonction définie par

IV.D.1) Déterminer l'ensemble de définition de .
IV.D.2) Montrer que possède une limite en que l'on déterminera.
IV.D.3) Montrer que est une solution de l'équation fonctionnelle IV. 1 sur .
IV.D.4) Comparer et .