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Centrale Mathématiques 2 PC 2010

Systèmes de racines, triplets admissibles

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéductionGéométrieAlgèbre linéaire
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2010
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PC
Matière
Maths
Centrale PCCentrale 2010PC MathsMaths 2010
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Les parties I et II sont indépendantes. La partie III est pour une large part indépendante des deux autres.

I Systèmes de racines

Les systèmes de racines interviennent dans divers domaines des mathématiques et en cristallographie.
Le couple ( . é. On note . é scalaire . é est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan de . Pour tout élément non nul de , on note la réflexion de par rapport à l'orthogonal de la droite .
- Soit un élément non nul de . Montrer, pour tout vecteur de , l'identité :
Pour tout sous-espace vectoriel de , on appelle système de racines de une partie non vide de vérifiant les quatre propriétés suivantes :
  1. est fini, engendre et ne contient pas le vecteur nul;
  2. pour tout dans , on a ;
  3. pour tout dans , les seuls éléments de colinéaires à sont et ;
  4. pour tout couple dans , on a .
    - On suppose dans cette question que l'espace est de dimension 1.
    Montrer que les systèmes de racines de sont les ensembles , avec .
    - Dans cette question, l'espace est de dimension .
    Pour tout couple ( ) de vecteurs non nuls de , soit l'angle géométrique entre et , c'est-à-dire l'unique élément de donné par : .
    I.C.1) Soit un système de racines de et soient deux éléments de non colinéaires.
    a) Montrer, à l'aide de la propriété 4, que : .
    b) On suppose . Montrer que le couple ( ) se trouve dans l'une des configurations recensées dans le tableau ci-dessous (chaque ligne correspondant à une configuration) :
0
1
1
I.C.2) Réciproquement, on suppose qu'un couple ( ) de vecteurs non colinéaires de se trouve dans
l'une des configurations recensées dans le tableau ci-dessus. Montrer que le réel est un entier relatif; en préciser la valeur.
- Dans cette question, l'espace est de dimension .
Pour tout système de racines de , on pose
I.D.1) Montrer que est bien défini et est égal à ou .
I.D.2) Pour chaque valeur de , représenter graphiquement un système de racines tel que . Il n'est pas nécessaire de justifier que les figures tracées représentent bien des systèmes de racines. Quel est le cardinal de ? Aucune justification n'est attendue.
I.E - Dans cette question, l'espace est de dimension .
Soient ( ) une base orthonormale de et .
I.E.1) Montrer que le sous-espace vectoriel de engendré par la partie est un plan vectoriel.
I.E.2) Représenter graphiquement dans le plan . Reconnaître l'un des systèmes de racines représentés à la question I.D.2.

II Propriétés de

  • La lettre désigne un entier supérieur ou égal à 1 .
  • On note le corps des nombres réels ou le corps des nombres complexes.
  • On note respectivement l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre à coefficients dans , le groupe des matrices inversibles de , le sous-espace vectoriel de formé des matrices diagonales.
  • On désigne par l'ensemble des matrices de de trace nulle.
  • On note la matrice identité et 0 la matrice nulle de .
  • On dit qu'une matrice de est nilpotente s'il existe un entier naturel non nul tel que . De la même manière, on dit qu'un endomorphisme est nilpotent s'il existe un entier naturel non nul tel que .
  • Pour tout couple ( ) d'éléments de , le crochet est défini par .
  • Pour tout , on définit l'endomorphisme
  • On dit qu'un triplet ( ) de trois matrices non nulles de est un triplet admissible si les trois relations suivantes sont vérifiées :
On pose :

II.A - Généralités

II.A.1) Montrer que est un -espace vectoriel ; en préciser la dimension.
II.A.2) Justifier que, pour tout couple d'éléments de , la matrice appartient à .

II.B - Un isomorphisme

Montrer que l'application
est un isomorphisme de -espaces vectoriels.

II.C - Caractérisation des matrices nilpotentes

Soit une matrice non nulle de . Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
i. La matrice est nilpotente ;
ii. Le spectre de est égal à ;
iii. La matrice est semblable à la matrice .

II.D - Le cas complexe

On suppose dans cette question que est égal à .
II.D.1) Montrer que deux matrices non nulles de sont semblables si et seulement si elles ont le même polynôme caractéristique.
II.D.2) Ce résultat reste-t-il vrai pour deux matrices non nulles de , avec ?

II.E - Le cas réel

On suppose dans cette question que est égal à .
II.E.1) Soit une matrice de . On suppose que son polynôme caractéristique vaut , où est un réel non nul.
a) Justifier l'existence d'une matrice vérifiant : ir . Que vaut la matrice ?
b) Soit l'endomorphisme de canoniquement associé à la matrice , c'est-à-dire qui à un vecteur colonne de associe le vecteur . Soit un vecteur non nul de . Prouver que la famille ( ) est une base de , et donner la matrice de dans cette base.
II.E.2) Montrer que deux matrices non nulles de sont semblables dans si et seulement si elles ont le même polynôme caractéristique.
II.E.3) On munit l'espace vectoriel de sa structure affine euclidienne canonique et de son repère canonique. Pour toute matrice de , on note l'ensemble des points de dont l'image par l'application possède le même polynôme caractéristique que .
a) Soit un réel strictement positif. Montrer que chacune des parties et est une quadrique dont on précisera une équation.
b) Représenter graphiquement l'allure des quadriques et sur un même dessin.

II.F - Un lemme

Soient et trois éléments de .
II.F.1) Exprimer la trace de la matrice en fonction du déterminant de .
II.F.2) Démontrer que la matrice est nilpotente si et seulement si la trace de la matrice est nulle.
II.F.3) On suppose que les matrices et commutent.
Démontrer que la matrice est nilpotente.
II.G - Description des triplets admissibles de
II.G.1) Déterminer les matrices de qui commutent avec . Quelles sont les matrices de qui commutent avec ?
II.G.2) Soit une matrice de . Vérifier que ( ) est un triplet admissible. On se propose de démontrer que, réciproquement, tous les triplets admissibles de sont de cette forme. Pour toute la suite de la question II.G, soient trois éléments de tels que ( ) forme un triplet admissible.
II.G.3) Montrer en utilisant les questions II.F et II.C qu'il existe une matrice vérifiant .
On fixe pour la suite de la question II.G une telle matrice .
II.G.4) On définit les vecteurs et .
a) En calculant le vecteur de deux manières différentes, démontrer que est un vecteur propre de la matrice .
b) En calculant le vecteur de deux manières différentes, prouver l'existence d'un scalaire vérifiant l'identité : .
c) Trouver une matrice commutant avec et vérifiant la relation .
On pose désormais .
II.G.5) Soit telle que ( ) soit un triplet admissible.
a) Déduire de la question II.G. 1 les matrices de qui commutent avec .
b) Calculer les matrices et .
c) En déduire que l'on a .
II.G.6) Démontrer l'identité .

III Systèmes de racines et triplets admissibles d'un sous-espace de

III.A - Diagonalisation simultanée

Soit un -espace vectoriel de dimension finie non nulle.
III.A.1) Soient un endomorphisme de diagonalisable et un sous-espace non nul de stable par . Montrer que l'endomorphisme de induit par est diagonalisable.
III.A.2) Soient et deux endomorphismes de qui commutent, c'est-à-dire tels que . Montrer que les sous-espaces propres de sont stables par .
III.A.3) Soit un ensemble non vide et soit une famille d'endomorphismes de diagonalisables commutant deux à deux. Montrer qu'il existe une base de dans laquelle les matrices des endomorphismes , pour , sont diagonales. Indication : on pourra traiter d'abord le cas où tous les endomorphismes sont des homothéties, puis raisonner par récurrence sur la dimension de .

III.B - Application

On reprend dans cette partie les notations de la partie II.
Soit un sous-espace vectoriel non nul de stable par crochet, c'est-à-dire vérifiant :
On note l'intersection de et .
III.B.1) Soit un élément de .
a) Calculer l'image par de la base canonique de . En déduire que est un endomorphisme diagonalisable de .
b) Montrer qu'il existe une base de dans laquelle les matrices des endomorphismes de induits par les , pour , sont diagonales.
Pour toute application de dans , on pose :
III.B.2) Soit une application de dans .
a) Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
b) Montrer que si est non réduit à , alors est une forme linéaire de .
On note l'espace vectoriel des formes linéaires de et l'ensemble des éléments de tels que est différent de .

III.C - Un exemple

On reprend dans cette question les notations des parties I et II ainsi que de la question III.B. On suppose désormais
où, pour tout , le symbole désigne la transposée de .
On a donc .
III.C.1) Montrer que est un sous-espace vectoriel de stable par crochet. Montrer qu'on a , où désigne lorsque est la forme linéaire nulle. Donner une base de .
III.C.2) Pour , on note l'élément de qui à toute matrice ,
où , associe le coefficient .
a) Vérifier que ( ) forme une base de .
On munit de l'unique produit scalaire faisant de ( ) une base orthonormale.
b) Soit . Montrer que l'ensemble est un système de racines de . On pourra pour cela dessiner la partie dans le plan euclidien et reconnaître l'un des systèmes de racines rencontrés dans la question I.D
III.C.3) Soit . Déterminer par le calcul le sous-espace vectoriel . Vérifier que est une droite vectorielle.
III.C.4) Établir la relation .
III.C.5) Démontrer l'égalité .
III.C.6) On pose désormais et .
a) En utilisant les résultats de la question III.C.3, montrer qu'il existe un couple et un couple tels que ( ) et ( ) soient des triplets admissibles de .
On fixe deux tels triplets admissibles.
b) Montrer que est le plus petit sous-espace vectoriel de stable par crochet et contenant les matrices et .
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