Centrale Mathématiques 2 PC 2006

Dans ce problème, les figures ou les commentaires, même non demandés, qui éclaireraient les situations ou les hypothèses rencontrées seront les bienvenus.
Dans tout le problème, on désigne par un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé , par ( ) le cercle centré en et de rayon donné , , et par et les points de coordonnées respectives ( ) , ( ) et .

Dans cette partie, on désigne par ( ) la courbe d'équation .
I.A - Montrer que ( ) est une ellipse. En déterminer deux axes de symétrie et un centre de symétrie.
I.B - Étudier le signe de l'expression pour . En déduire les positions relatives de et .

I.C.1) Soit ( ) l'ellipse de représentation paramétrique ( ) , où et sont deux réels non nuls et où le paramètre décrit . Montrer que la droite ( ) d'équation rencontre ( ) en un point unique si et seulement si il existe tel que

En déduire que, dans ce cas, est tangente à .
I.C.2) En se ramenant à la question précédente, montrer que, si dans une droite coupe une ellipse en un seul point, elle lui est tangente. Est-ce encore le cas pour une parabole? Pour une hyperbole?
I.C.3) Montrer que les droites d'équation et sont tangentes à ( ) en des points que l'on précisera. Tracer soigneusement ( ) et ( ), ainsi que ces deux droites.

I.D - On considère l'arc paramétré défini par :

Montrer que l'on définit ainsi une bijection de sur une partie ( ) de ( ) que l'on précisera. Si est réel, on dira que est le paramètre du point .
I.E - Soit et deux réels. Montrer que est une équation de la droite , si l'on a posé et .

Si , la notation désignera cette fois la tangente en à . On admettra sans le vérifier que l'équation trouvée convient encore dans ce cas.

I.F.1) Soit un point de ( ), de paramètre . Montrer que, sauf dans un cas particulier à préciser, son symétrique orthogonal par rapport à est un point de ; en exprimer le paramètre, noté .
Si désigne le point de coordonnées ( ), montrer que, lorsque , la droite ( ) recoupe ( ) au point de paramètre (on pourra utiliser les résultats de I.E.).

Dans le cas particulier où et , on pose toujours et . Montrer que la droite est tangente à ( ) (on pourra exprimer en fonction de seulement et utiliser les résultats de I.C.2.).
I.F.3) En utilisant les questions qui précèdent, montrer que, si un point de (C) est distinct des points et définis dans le préambule, alors une construction géométrique simple, que l'on détaillera, permet de construire deux autres points et de ( ) tels que les côtés du triangle soient tangents à . Étudier le cas des points pour .
I.G - Récapituler les résultats de cette partie à l'aide d'une figure.

Soit une application de dans de la forme

où les coefficients et sont des réels.
On lui associe la relation définie sur par

où l'on a posé et . On dira que est une 2 -correspondance si et ne sont pas tous les trois nuls, et une 1 -correspondance si , mais et non tous nuls.

Soit un point donné de , différent de . Montrer que la relation sur définie par est une 1 -correspondance. Donner un exemple simple de 1 -correspondance qui ne soit pas de cette forme.

Soit le cercle de centre de coordonnées ( ) et de rayon donnés. II.B.1) Si ( ) est la droite d'équation , avec , donner une expression du carré de la distance de à , noté .
II.B.2) En déduire que, si et sont des réels, la droite ( ) est tangente à si et seulement si

puis que cela définit ici une 2 - correspondance.
II.C - Si est une 1 - correspondance, montrer que l'ensemble des tels que est fini (ou vide). Montrer que cette propriété tombe en défaut pour une 2 -correspondance et une seule.

Pour fournir certains des exemples demandés dans la partie qui suit, les candidats pourront mettre à profit l'exemple II.B en choisissant de façon adéquate le cercle .

Le but de cette partie est l'étude de l'existence, étant donné une 2 -correspondance vérifiant quelques propriétés supplémentaires, de paramètres réels (distincts ou non) et formant un 4-cycle pour , c'est-à-dire tels que pour et .
III.A - Comment interpréter géométriquement un 4-cycle dans le cas où est la 2 - correspondance définie à la question II.B. 2 ? Montrer par un choix de qu'il peut y avoir une infinité de solutions, et qu'il peut n'y avoir aucune solution.

Pour , on pose

III.B.1) et étant réels, à quelle condition la famille est-elle liée dans ?
III.B.2) Soit ; on pose:

Montrer qu'il existe unique telle que pour tout réel .
III.B.3) Caractériser à l'aide de la liberté de la famille dans l'espace vectoriel . En déduire que si est libre, alors la famille est libre si et seulement si .
III.B.4)
a) On suppose, jusqu'à la fin de ce III.B, que est de rang 2 .

Montrer que admet 0 comme valeur propre et en déduire qu'il existe trois réels tels que

b) Montrer que ce déterminant est égal à , avec et .
Établir alors le résultat suivant, vrai sauf pour des valeurs particulières de que l'on mettra en évidence :

Il existe une 1 -correspondance telle que, chaque fois que les réels et vérifient , la famille est liée.
III.C - On considère une 2-correspondance de la forme

où et sont des réels non tous nuls, et des réels, et où et désignent encore et .
III.C.1) Écrire sous la forme , où et sont dans .
Exemple 1. Lorsque , déterminer et ainsi que le rang de la famille .
Exemple 2. On considère, pour ce seul exemple, deux réels et strictement positifs tels que et on pose . Montrer que vérifie les hypothèses du III.B.4-a) puis déterminer la 1 - correspondance définie comme dans le III.B.4-b).
III.C.2)

Montrer que si, pour , l'équation en possède deux solutions réelles (distinctes ou non) et , alors on a et .
III.C.3)
a) On pose .

Montrer, par un exemple, qu'il est possible que , ou que sauf en un point. Que penser dans chacun de ces cas de l'existence de 4 -cycles?

On suppose maintenant qu'il existe , supposé choisi, tel que . On suppose en outre que (ce qui, en fait, ne restreint nullement la généralité recherchée).
b) Montrer qu'il existe alors un intervalle ouvert non vide en tout point duquel et .
c) En conclure que si la famille est libre, il n'existe aucun 4-cycle formé de paramètres distincts.
d) Si la famille est de rang 2 , montrer qu'il existe une 1 -correspondance telle que, chaque fois que l'on a et , il existe et tels que soit un 4-cycle. Peut-on alors faire en sorte que ces quatre paramètres soient distincts?
III.C.4)
a) Dans le cas de l'exemple de II.B, montrer que l'hypothèse du III.B.4-a) quant au rang de équivaut à

b) Que signifie la condition ? Indiquer une construction géométrique de 4 -cycles dans le cas où elle est vérifiée. Prouver géométriquement que cette construction convient.