Centrale Mathématiques 2 PC 2005

Soit un entier naturel supérieur ou égal à 2 . Soit une matrice carrée d'ordre , dont les coefficients sont des entiers naturels. On note le coefficient de appartenant à la -ème ligne et à la -ème colonne de .
On suppose que est symétrique et que les coefficients de la diagonale principale de sont égaux à 1 .
On désigne par la matrice réelle, carrée, d'ordre , de coefficient , définie par:

On remarque que est symétrique et que les coefficients de sa diagonale principale valent 1.
Soit un espace vectoriel réel de dimension et une base donnée de .
Pour chaque entier compris entre 1 et , on désigne par l'endomorphisme de caractérisé par :

On note l'endomorphisme de donné par:

où o désigne la composition des applications.
On désigne par et les matrices associées aux endomorphismes et dans la base et par la matrice unité d'ordre associé à l'identité (notée ).

Dans cette partie I, on suppose et on pose:

I.A.1) Expliciter en fonction de puis en fonction de .
I.A.2) Donner en fonction de les matrices et .

I.B - On suppose dans cette question I.B que et donc que .
I.B.1) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de
I.B.2) La matrice est-elle diagonalisable ? (Justifier la réponse).
I.B.3) Diagonaliser ou trigonaliser, si possible, la matrice .
I.B.4) Montrer que est d'ordre infini (c'est à dire qu'il n'existe pas d'entier naturel strictement positif tel que , où désigne la puissance -ième de pour la loi de composition).
I.C - On suppose dans cette question I.C, que est supérieur ou égal à 2 , et donc que .
On définit la forme bilinéaire sur par:

I.C.1) Montrer que est un produit scalaire.

Muni de ce produit scalaire, est un plan euclidien, que nous noterons aussi .
I.C.2) Pour quelle valeur de la base est-elle orthonormale?
I.C.3) Montrer que les sous-espaces propres de sont orthogonaux.
I.C.4) Montrer que et sont des symétries orthogonales en précisant par rapport à quelles droites vectorielles.
I.C.5) Montrer que est une rotation et déterminer une mesure en radians de l'angle de cette rotation, en supposant la base directe.
I.C.6) En déduire que est d'ordre , c'est-à-dire que est le plus petit entier strictement positif tel que .
I.D - On suppose dans cette question que .
I.D.1) Dans chacun des cas , déterminer un réel , tel que les matrices associées à et relativement à la base ( ), aient tous leurs coefficients dans .
I.D.2) Dans chacun des cas , faire une figure soignée où l'on indiquera et , ainsi que leurs images par et . On représentera le plan euclidien de façon usuelle, c'est-à-dire que des vecteurs orthogonaux seront représentés par des flèches perpendiculaires et des vecteurs de même norme par des flèches de même longueur.

Dans cette partie désigne un entier quelconque supérieur ou égal à 2 .

II.A.1)
a) Pour compris entre 1 et , calculer .
b) Exprimer en fonction de l'identité.
c) Montrer que .
II.A.2) On pose et, pour tout .
a) Montrer par récurrence sur , que, pour tout , on a :

b) Vérifier que la famille est une base de .
II.A.3)
a) Exprimer en fonction de .
b) Montrer que pour tout on a :

II.A.4) Soit la matrice carrée d'ordre , triangulaire supérieure, dont les coefficients sont donnés par:

On notera la matrice transposée de la matrice .
On désigne par la matrice de passage de la base à la base .
a) Exprimer en fonction de .
b) Montrer que :

c) En déduire que, pour tout , on a :

II.B - Soient vérifiant : ; on note le sous-espace vectoriel de engendré par et .
II.B.1)
a) Montrer que .
b) Montrer que est stable par et .

On note et les restrictions de et à .
c) Donner les matrices et associées à et relativement à la base ( ) de .
d) Vérifier que et sont inverses l'une de l'autre. Pouvait-on prévoir ce résultat?
II.B.2)
a) Montrer que, si pour tous et on a , alors et sont d'ordre infini.
b) Quels sont les ordres de et lorsque ?
II.C - On suppose dans cette section que :
i)
ii) pour
iii) .

On pose et pour .
On désigne par (resp. ) le nombre de couples , tels que resp. .
II.C.1) Montrer que si et sont pairs, alors il existe un -uplet de réels tel que les matrices de tous les , pour , relativement à la base ( ), ont leurs coefficients dans .
II.C.2) est un polynôme réel en , de degré , que l'on écrira .
a) Justifier que et , où tr désigne la trace de .
b) Calculer, pour en fonction de et .
c) Montrer que

(on pourra utiliser la question II.A. 4 et démontrer la relation par récurrence sur .
II.C.3)
a) Montrer que, s'il existe une base de dans laquelle toutes les matrices des ont tous leurs coefficients entiers, alors la trace de est un entier.
b) Montrer que si est impair ou est impair, alors la trace de est irrationnelle.
c) Montrer qu'il existe une base de dans laquelle les matrices de tous les ont tous leurs coefficients entiers si et seulement si et sont pairs.

On suppose dans cette partie que et que :

III.A - Peut-on trouver une base de dans laquelle les matrices de et ont tous leurs coefficients entiers?
III.B - On définit la forme bilinéaire sur par :

pour tous réels.
III.B.1) Vérifier que est un produit scalaire.

On considérera donc comme un espace vectoriel euclidien muni de ce produit scalaire.
III.B.2) Donner une équation cartésienne de l'orthogonal, pour , du vecteur en fonction de .

III.C.1) Pour , déterminer les sous-espaces et .
III.C.2) En déduire que les , sont des symétries orthogonales par rapport à des plans (ou réflexions) de .
III.D - Montrer que les , pour , sont des rotations et les caractériser.

III.E.1) Que peut-on dire de ?
III.E.2) Déterminer la matrice .

Déterminer un vecteur non nul de norme 1 tel que , puis une base directe de , de premier vecteur , orthonormale pour .
III.E.3) Montrer que est la composée d'une rotation d'axe , dont on précisera l'angle et de la symétrie orthogonale par rapport au plan .
Donner l'ordre de la matrice , c'est-à-dire le plus petit entier tel que .