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Centrale Mathématiques 2 PC 2003

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2003
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PC
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Maths
Centrale PCCentrale 2003PC MathsMaths 2003
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MATHÉMATIQUES II

Dans ce problème, nous étudions les propriétés de certaines classes de matrices carrées à coefficients réels et certains systèmes linéaires de la forme d'inconnue étant une matrice à coefficients réels, un vecteur de . Cette étude fait l'objet des parties I à IV, et les matrices considérées ont la particularité d'avoir beaucoup de termes nuls. Au cours de la dernière partie, on montre comment la recherche de solutions approchées d'une équation différentielle peut conduire à de tels systèmes linéaires.

Dépendance entre les questions

On peut aborder les parties II à V sans avoir traité entièrement la partie I. Le préambule de la partie III reprend les résultats de la partie II qui sont nécessaires pour la traiter. Les résultats des premières questions de la partie III servent dans la partie IV. Le début de la partie V peut être abordé directement.

Notations du problème

Dans tout le problème désigne un entier supérieur ou égal à 2 et désigne la matrice unité d'ordre . Si est une matrice (carrée ou non), désigne la matrice transposée de . On identifie un vecteur et la matrice à lignes et 1 colonne,
et désigne alors la matrice à 1 ligne et colonnes : ;
  • est l'élément de dont tous les coefficients sont nuls sauf le -ième, égal à 1 ;
  • est l'espace vectoriel des matrices carrées symétriques, à coefficients réels, d'ordre (c'est-à-dire à lignes et colonnes);
  • est le groupe des matrices orthogonales d'ordre .

Filière PC

Partie I - Une famille de matrices symétriques

Soient un entier naturel tel que , et un réel strictement positif. On considère dans cette partie les matrices carrées d'ordre , telles que, pour ,
Ainsi, pour prenant respectivement les valeurs 2,3,4:
On note le polynôme caractéristique de la matrice : .

I.A - À propos des éléments propres de

I.A.1) Calculer les polynômes et . Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de et de .
I.A.2) Montrer que .
I.A.3) De façon plus générale, exprimer en fonction de et de pour tout .
I.A.4) Démontrer que 1 est valeur propre de si et seulement si est impair.
I.B - On suppose que est un entier supérieur ou égal à 3 et que est un vecteur propre de associé à la valeur propre .
I.B.1) Exprimer en fonction de .
I.B.2) Exprimer en fonction de et . En déduire
I.B.3) Donner une relation entre et lorsque .
Avec la convention , démontrer que, pour tout tel que ,
I.B.4) Montrer que les sous-espaces propres de la matrice sont des droites vectorielles, puis que admet valeurs propres deux à deux distinctes.

Partie II - Matrices définies positives

On dit qu'une matrice symétrique est définie positive lorsque pour tout non nul, . On note l'ensemble de ces matrices.
Dans les questions qui suivent, , désigne une matrice de et est un entier tel que .
II.A - En calculant , montrer que .
II.B - Soit une valeur propre de et un vecteur propre associé. Calculer et en déduire que . Justifier que .
II.C - On suppose que et on écrit sous la forme de blocs
ù
Préciser la taille des blocs .
Soit un élément de tel que si . En calculant en fonction de et de , montrer que la sous-matrice est elle-même symétrique et définie positive.

II.D - Matrices symétriques à valeurs propres strictement positives

II.D.1) Soient et deux matrices symétriques d'ordre . On suppose qu'il existe une matrice orthogonale telle que .
Montrer que est définie positive si et seulement si est elle-même définie positive.
II.D.2) Montrer qu'une matrice diagonale d'ordre , à coefficients réels, est définie positive si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous strictement positifs.
II.D.3) Montrer qu'une matrice est définie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives.
II.E - Soit la matrice symétrique définie dans la partie I.
Nous allons montrer que, sous certaines conditions, .
Supposons que soit un vecteur propre de associé à la valeur propre et désignons par un indice pour lequel .
II.E.1) Montrer que si ou alors (indication: écrire la ligne 1 ou la ligne du système ).
II.E.2) Montrer que si , alors .
II.E.3) En déduire que si , la matrice est définie positive.

Partie III - Décomposition des matrices définies positives

Préambule : On cherche à démontrer dans cette partie la propriété :
Pour toute matrice , il existe une unique matrice carrée d'ordre , triangulaire inférieure et à coefficients diagonaux strictement positifs telle que 。
On pourra utiliser ici les résultats de la partie II, en particulier le fait que, si ,
  • ses termes diagonaux sont strictement positifs ;
  • son déterminant est strictement positif ;
  • les sous-matrices formées des termes d'indices , tels que , où , sont elles-mêmes symétriques et définies positives.
    III.A - Montrer la propriété pour . En notant
donner les expressions de en fonction de .
III.B - On suppose la propriété vraie au rang (avec ), et on considère une matrice , que l'on écrira en 4 blocs :
où est une matrice carrée d'ordre un réel et un vecteur de , désignant la ligne transposée de , à savoir : .
III.B.1) Montrer que est inversible.
III.B.2) Soient et une matrice triangulaire inférieure, d'ordre , à coefficients diagonaux strictement positifs telle que . Montrer que la matrice carrée d'ordre
ùé
vérifie si et seulement si :
III.B.3) En admettant que
montrer que la propriété est vraie au rang .

III.C - Preuve de (2) et fin de la démonstration

III.C.1)
Calculer en fonction de , des et des .
III.C.2) Soit une matrice symétrique définie positive que l'on écrit par blocs :
a) Calculer le produit de deux matrices :
b) Montrer, par un calcul de déterminants, que vérifie la relation (2).
III.D - Décrire un algorithme de calcul de la matrice .

Partie IV - Matrices tridiagonales

IV.A - Soit une matrice symétrique définie positive d'ordre . On suppose que est de plus tridiagonale, c'est-à-dire qu'elle vérifie si .
IV.A.1) On suppose . Soient , tel que si , et , une matrice d'ordre , triangulaire inférieure dont les termes diagonaux sont non nuls.
Résoudre l'équation .
IV.A.2) désigne encore la matrice triangulaire inférieure à coefficients diagonaux strictement positifs, telle que .
Démontrer, en raisonnant par récurrence et en utilisant la question III.B.2), que est tridiagonale.
IV.B - On reprend les notations de la partie I et on suppose . On note la matrice triangulaire inférieure à coefficients diagonaux strictement positifs telle que .
IV.B.1) Calculer et .
IV.B.2) On s'intéresse au système linéaire où .
a) Montrer qu'il possède une unique solution.
b) Montrer que la résolution de ce système est équivalente à la résolution successive des systèmes et .
c) Dénombrer avec soin les additions, les soustractions, les multiplications et les divisions que nécessite la résolution successive de ces deux systèmes.
Montrer que seules de ces opérations sont nécessaires pour obtenir .

Partie V - Solutions approchées d'une équation différentielle

V.A - Question préliminaire : approximation d'une dérivée seconde

On pose . Soit une fonction de classe . On rappelle que pour et tels que , on peut écrire la formule de Taylor avec reste intégral sous la forme :
On note
V.A.1) Justifier l'existence de et donner une majoration de la valeur absolue du reste intégral en fonction de et de . On pourra commencer par le cas où .
V.A.2) Montrer que si ,
avec
Dans toute la suite du problème, on se donne , deux réels et , une fonction sur , à valeurs réelles, de classe .
On s'intéresse au problème suivant :

V.B -

V.B.1) Donner l'expression générale des solutions de l'équation différentielle
V.B.2) On note une solution particulière de l'équation différentielle
Donner l'expression générale des solutions de l'équation ( ). Montrer que le problème (4) admet une solution et une seule.
V.B.3) Montrer que cette solution est de classe .

V.C - On se propose d'approcher la solution du problème (4)

On subdivise l'intervalle [0,1] en considérant les points
Pour , on remplace l'équation :
par l'équation approchée:
dans laquelle :
On note
V.C.1) Montrer que l'on peut choisir un réel , que l'on exprimera en fonction de et de , qui permet de réécrire le système formé des équations (5) sous la forme où est la matrice étudiée dans la partie I et un vecteur de que l'on précisera.
V.C.2) Montrer que le système linéaire possède une unique solution.
V.C.3) Dans cette question on choisit et , et on considère la fonction définie par
Donner les valeurs numériques de et .
Donner les expressions approchées de obtenues en mettant en œuvre la démarche proposée dans les parties IV et V du problème.
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