Centrale Mathématiques 2 PC 2000

Nota : les trois parties du problème peuvent être abordées indépendamment.

Dans toute la partie I -, désigne un intervalle de et une fonction à valeurs réelles, définie sur . On note l'ensemble des réels tels que la fonction définie sur par soit majorée; si , on définit la fonction sur par:

La fonction est appelée la transformée de Legendre de ; on note .

Calculer la transformée de Legendre (en précisant l'ensemble ) et tracer le graphe de , dans les cas suivants :
I.A.1) .
I.A.2) .
I.A.3) .

Soit une fonction réelle définie sur un intervalle . On suppose que est non vide.
I.B.1) Montrer que est un intervalle : on montrera que, si et sont dans , alors pour tout appartient à .
I.B.2) Montrer que est convexe sur , c'est-à-dire :

I.B.3) Que peut-on dire de la monotonie de dans les cas suivants :
a)
b) .

Soit une fonction de classe sur l'intervalle , telle que : .

On sait que est un intervalle ; on note et ses extrémités et l'on suppose (on peut avoir ou ).
I.C.1) Montrer que contient l'intervalle ouvert et donner l'expression de sur en fonction de et (fonction réciproque de la fonction ). Pour , on note l'unique point de tel que: .
I.C.2) Pour , calculer au moyen de .
I.C.3) Montrer que, , la droite d'équation est tangente au graphe de la fonction .
I.C.4) Soit et . Montrer que:
a) .
b) .
c) est une bijection de sur .

Soit désigne l'espace vectoriel euclidien muni du produit scalaire canonique

si , on note le vecteur colonne associé .
Ainsi, si est le vecteur colonne associé à .
Soit une application de dans , telle que, pour tout , l'application de dans définie par , soit majorée; on définit alors la transformée de Legendre de , notée , comme étant l'application de dans définie par

Dans la suite de cette partie II, est définie par , où est une matrice carrée réelle d'ordre , symétrique et dont toutes les valeurs propres sont strictement positives.
II.1) Soit fixé. On pose .

Démontrer qu'il existe une base de telle que :

où les et les sont des réels à déterminer.
Montrer que la fonction est majorée sur et atteint sa borne supérieure.
On en déduit en particulier que la transformée de Legendre de est bien définie.
II.2) Calculer , la transformée de Legendre de et montrer qu'il existe une matrice carrée réelle symétrique , d'ordre , qu'on exprimera en fonction de telle que

où est le vecteur colonne associé à .
Calculer la fonction .
II.3)
a) Montrer que ,
b) Montrer que :

Indication : on pourra calculer la dérivée de la fonction .
II.4) En utilisant la question II.3-b), déterminer pour tout , un vecteur tel que .
Indication : on pourra utiliser tel que .

désigne l'espace vectoriel euclidien muni du produit scalaire canonique, noté , et de la norme associée, notée . Si , on note le vecteur colonne associé et par extension .

Soit un vecteur donné de une matrice carrée réelle d'ordre , symétrique et ayant toutes ses valeurs propres positives ou nulles.

On note l'application de dans IR définie par :

Une partie de est dite convexe si:

Soit une partie fermée, non vide, convexe, de .
Lorsque est majorée sur , on s'intéresse à , ensemble - éventuellement vide - des points de où l'application restreinte à atteint sa borne supérieure :

III.A.1) Soit et deux points de et pour .

Montrer que: .
III.A.2) On suppose non vide. Montrer que est convexe.

Dans cette seule question III.B, on suppose de plus que toutes les valeurs propres de sont strictement positives.
III.B.1) Démontrer qu'il existe un nombre tel que:

III.B.2) Montrer que est non vide.
III.B.3) Montrer que ne contient qu'un élément.

III.C.1) Avec les mêmes notations qu'au III.A.1, montrer que :

III.C.2) Montrer l'équivalence :

Donner l'interprétation de la caractérisation trouvée au moyen du gradient de au point .

Dans cette question III.D, on suppose de plus que l'ensemble est borné, contenu dans la boule fermée de centre et rayon .
III.D.1) Démontrer que est non vide.

Trouver un exemple avec non identiquement nulle où a une infinité d'éléments.
III.D.2) Démontrer qu'il existe un réel tel que : .
III.D.3) Soit un nombre réel strictement positif tel que:

(où est défini au III.D.2).
On se propose de construire par récurrence des suites de points de et une suite réelle telles que si (resp. ) est le vecteur colonne associé à (resp. ), on a pour tout :
i) ;
ii) ;
iii) .

On suppose donné et .
a) Montrer l'existence de vérifiant la relation i).
b) Montrer que défini par la relation ii) est dans l'intervalle .
c) Montrer que défini par la relation iii) est dans .

Déduire des questions a), b) et c) que pour tout , les relations i), ii) et iii) permettent de définir les suites et .
III.D.4) Montrer que, si ( ) est la suite définie à la question III.D.3), la suite ( ) est croissante et convergente.
Montrer qu'il existe une suite extraite de la suite ( ) qui converge vers un élément de .