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Centrale Mathématiques 2 MP 2021

Inégalités de Bernstein

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Polynômes et fractionsNombres complexes et trigonométries, calculs, outilsIntégrales généraliséesIntégrales à paramètres
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Année
2021
Filière
MP
Matière
Maths
Centrale MPCentrale 2021MP MathsMaths 2021
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Inégalités de Bernstein

Le but de ce problème est d'étudier les inégalités dites de Bernstein dans deux cadres différents.
La première partie s'intéresse à la démonstration de l'inégalité de Bernstein pour les polynômes et à certaines applications. La deuxième partie introduit la notion de transformée de Fourier et permet d'établir une inégalité de Bernstein pour des fonctions dont la transformée de Fourier vérifie certaines propriétés.
Les deux parties de ce sujet sont complètement indépendantes et peuvent être traitées dans l'ordre désiré.

I Inégalité polynomiale de Bernstein et applications

Dans cette partie,
  • si , on note le -espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à ;
  • si , on note le -espace vectoriel des fonctions vérifiant
On remarque que les éléments de sont des fonctions bornées;
  • si est un intervalle non vide de et si est une fonction bornée de dans , on note
On admet que définit une norme sur le -espace vectoriel des fonctions bornées de dans .

I.A - Polynômes de Tchebychev

On définit la suite de polynômes par et .
Q 1. Pour tout dans , déterminer le degré de , puis montrer que est une base de .
Q 2. Montrer que, pour tous et .
Q 3. En déduire que, pour tous et , la fonction de dans est dans .
Q 4. Pour , calculer .
Q 5. Montrer que, pour tout .
On pourra commencer par établir que, pour tous et .

I.B - Inégalité de Bernstein

Soit un entier naturel non nul.
Q 6. Soit , scindé à racines simples, et ( ) ses racines. Montrer que
Soit dans , et, pour tout .
Q 7. Si , vérifier que divise .
Pour tout dans , on note le quotient de par :
Q 8. Montrer que, pour tout dans .
On considère le polynôme . Pour dans , on note et .
Q 9. Montrer que
Q 10. À l'aide de la formule (I.1), montrer que
puis en déduire que
Q 11. Montrer que
On pourra appliquer l'égalité (I.2) au polynôme .
Soit maintenant dans .
Q 12. Montrer qu'il existe tel que, pour tout .
Q 13. Vérifier que, pour tout et déduire des questions 11 et 12 que
Q 14. En déduire que

I.C - Quelques conséquences de l'inégalité (I.4)

Soit un entier naturel non nul.
Q 15. Déduire des questions 3 et 14 que
Q 16. Montrer que
On pourra considérer et vérifier que .
Q 17. Soit et . Montrer que
On pourra considérer le polynôme .
Q 18. En déduire que, pour tout dans ,
Q 19. Peut-il y avoir égalité dans l'inégalité précédente ?

II Inégalités de Bernstein et transformée de Fourier

Dans cette partie,
  • pour , on dit qu'une fonction de dans est de classe si elle est fois dérivable sur , de dérivée -ième continue sur (si est continue) ; on dit que est si est pour tout . On note (respectivement ) l'ensemble des fonctions de classe (respectivement ) sur ;
  • on note l'ensemble des fonctions de dans continues et intégrables sur ;
  • pour , on note ;
  • on note l'ensemble des fonctions de dans continues et bornées sur ;
  • pour , on note .
On admet que et sont des sous-espaces vectoriels de . On admet également que définit une norme sur et que définit une norme sur . On dispose ainsi des espaces vectoriels normés ( ) et ( ).

II.A - Transformée de Fourier d'une fonction

Soit . On appelle transformée de Fourier de et on note la fonction de dans telle que
Q 20. Montrer que, pour toute fonction est définie et continue sur .
Q 21. Montrer que l'application est une application linéaire continue de l'espace vectoriel normé ( ) dans l'espace vectoriel normé ( ).
Q 22. Soit et soit la fonction de dans telle que pour tout réel . Montrer que et, pour tout réel , exprimer à l'aide de , de et de .

II.B - Produit de convolution

Si et sont deux fonctions continues de dans telles que, pour tout , la fonction soit intégrable sur , on appelle produit de convolution de et , et on note , la fonction de dans telle que
On suppose désormais et jusqu'à la fin de la sous-partie II.B que et .
Q 23. Montrer que est définie sur et que
Q 24. Montrer que est bornée et que .
Q 25. Soit . Montrer que, si est de classe et si les fonctions sont bornées pour , alors est de classe et .
Q 26. On suppose toujours que et et on suppose de plus que et . En admettant que, pour tout réel,
existent et sont égales, montrer que .

II.C - Introduction d'une fonction plateau

On cherche dans cette sous-partie à construire une fonction réelle positive , définie et de classe sur , telle que pour tout et pour tout .
Soit la fonction définie sur par
Q 27. Montrer que est de classe sur .
On pourra montrer que: .
Soit la fonction définie sur par
Q 28. Montrer, en l'exprimant à l'aide de , que est de classe .
Q 29. Soit l'unique primitive de s'annulant en 0 . Montrer que est de classe , constante sur (on note cette constante) et constante sur (on note cette constante). Vérifier que .
Q 30. Construire alors une fonction , constante égale à 1 sur et constante égale à 0 sur .

II.D - Inégalités de Bernstein

On admet les formules suivantes, dites formules d'inversion de Fourier :
  • si et si , alors, pour tout ;
    — si , si est la fonction de dans , et si , alors .
    On remarque que ces résultats permettent d'affirmer que, si et sont deux fonctions continues telles que , et sont intégrables et si , alors .
    On considère toujours la fonction définie à la question 30 .
    Soit la fonction de dans telle que, pour tout réel ,
Q 31. Montrer que est dérivable sur et donner une expression de sa fonction dérivée (faisant éventuellement intervenir une intégrale).
Q 32. Montrer que est bornée sur et en déduire que est intégrable et bornée sur .
On admet qu'en utilisant la même méthode, on montre que est intégrable et bornée sur .
Soit et soit telle que et telle que soit nulle en dehors du segment . On note la fonction de dans telle que pour tout réel .
Q 33. On admet que est intégrable. Montrer que .
Q 34. En déduire que, si , il existe une constante , indépendante de et de , telle que
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