Centrale Mathématiques 2 MP 2020

Les espaces à noyau reproduisant ont des applications dans divers domaines comme l'apprentissage statistique ou la résolution d'équations aux dérivées partielles.
Ce problème présente en partie III quelques exemples d'espaces à noyau reproduisant, l'un de ces exemples étant obtenu à partir de l'étude préalable dans la partie II d'un opérateur intégral. La partie IV propose quelques résultats sur les espaces à noyau reproduisant.
L'attention du candidat est attirée sur le fait que l'espace préhilbertien étudié n'est pas le même dans les différentes parties du problème.

Soit un intervalle de et soit ( ) un espace préhilbertien réel muni de la norme associée au produit scalaire. On dit que est un espace à noyau reproduisant sur lorsqu'il vérifie les trois propriétés suivantes :

On appelle alors noyau reproduisant l'application définie par

Soit un segment de . On dit qu'une fonction est de classe par morceaux s'il existe une subdivision de telle que, pour tout , la restriction de à [ se prolonge en une fonction de classe sur .

Soit ( ) un espace préhilbertien réel, de norme associée . Soit un endomorphisme de vérifiant,

Q 1. Soit un sous-espace vectoriel de stable par . Montrer que l'orthogonal de est stable par . On suppose qu'il existe un vecteur unitaire vérifiant

Pour tout vecteur unitaire orthogonal à , on pose, pour tout réel ,

Q 2. Montrer que est de classe .
Q 3. Calculer puis justifier que .
Q 4. En déduire que est orthogonal à .
Q 5. Montrer que est vecteur propre de .

Dans cette partie, désigne l'espace vectoriel des fonctions continues, muni du produit scalaire défini par,

On note la norme associée au produit scalaire.
Pour tout , on définit la fonction par,

On note également, pour tout .
Q 6. Soit . Tracer la courbe représentative de sur .
Q 7. Montrer que est continue sur .
Pour tout , on pose,

Q 8. Montrer que est un endomorphisme continu de .
Soit le sous-espace vectoriel de formé des fonctions polynomiales. Pour , on note la fonction définie .
Q 9. Pour tout , calculer . En déduire que est stable par .
Q 10. En déduire pour tout .
Q 11. Soit . Calculer et .
Q 12. Pour tout , montrer que est de classe puis que .
Q 13. Montrer que est injectif.
Q 14. Déterminer l'image de .
Q 15. Soit une valeur propre non nulle de et un vecteur propre associé. Montrer que est solution de l'équation différentielle .
Q 16. Déterminer les valeurs propres de et montrer que les sous-espaces propres associés sont de dimension 1.
Pour tout , on pose . On note et .
Q 17. Justifier que, pour tout , on a

On pourra utiliser la question 12.
On admet que,

Q 18. En déduire que .
Q 19. Montrer que la famille de vecteurs est orthonormale.
On admet pour la suite que est une suite totale.
Pour tout , on pose,

Q 20. Montrer que est continue.
Pour tout , on pose .
Q 21. Montrer que

Q 22. En déduire .

Dans cette partie, désigne l'espace vectoriel des fonctions continues, de classe par morceaux, et vérifiant .

Q 23. Montrer que l'on définit un produit scalaire sur en posant

Dans la suite de cette partie, on désigne par la norme associée à ce produit scalaire.
Q 24. Montrer que, pour toute fonction de classe telle que , on a

On pose, pour tout ,

où a été défini dans la partie précédente.
Q 25. Soit de classe . Montrer que . En déduire que .
Q 26. Montrer que est l'application identité de .
Q 27. Démontrer que l'espace préhilbertien est un espace à noyau reproduisant et que son noyau reproduisant est l'application définie dans la partie précédente.

On considère à nouveau l'espace des fonctions continues de dans , muni du produit scalaire défini par

Q 28. Montrer que ( ) n'est pas un espace à noyau reproduisant.

Q 29. Soit une suite de réels telle que la série soit convergente.
Montrer que le rayon de convergence de la série entière est supérieur ou égal à 1 .
Dans la suite de cette sous-partie, on considère l'ensemble des fonctions de dans de la forme

où et convergente. Pour , on pose

Q 30. Montrer que muni de est un espace préhilbertien réel.
Q 31. Soit . Déterminer tel que, pour tout ,

Q 32. En déduire que est un espace à noyau reproduisant et préciser son noyau.

On se donne dans cette sous-partie un réel .
On considère l'espace des fonctions , continues et de classe par morceaux sur , et vérifiant . On munit du produit scalaire défini, pour , par

Q 33. Montrer que la fonction est un noyau reproduisant sur .
Soit l'espace des fonctions continues sur , à valeurs dans , de classe par morceaux et vérifiant de plus . Soit de classe vérifiant et, pour tout .
Q 34. Déterminer un produit scalaire sur tel que la fonction soit un noyau reproduisant sur l'espace préhilbertien .

Soit un espace à noyau reproduisant sur un intervalle , de noyau reproduisant . Pour tout , on pose .
Soit et définie sur par . On pose

Q 35. Démontrer que

On suppose que est continue sur .
Q 36. Démontrer que toutes les fonctions de sont continues.

On note ici l'espace vectoriel des fonctions continues définies sur et à valeurs dans muni du produit scalaire défini par

On considère une fonction continue. On s'intéresse à l'application définie par

On suppose que est de dimension finie.
Q 37. Justifier que induit un isomorphisme de sur .
On note désormais la bijection réciproque de cet isomorphisme.
On définit le produit scalaire sur en posant, pour tout ,

On considère l'application définie sur par

Q 38. Montrer que ( ) est un espace à noyau reproduisant, de noyau .