Centrale Mathématiques 2 MP 2019

Pour tout réel , on note sa partie entière.
On note

Soit une variable aléatoire sur ( ), à valeurs complexes et telle que soit fini. En notant et les parties réelle et imaginaire de , on définit l'espérance de par

Si sont des variables aléatoires sur ( ), à valeurs complexes, mutuellement indépendantes, et telles que soit fini pour tout , on admet que

Soient un espace probabilisé et une suite de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans avec pour tout . On pose

Pour variable aléatoire réelle avec fini, on note

On définit également

Soit un entier naturel non nul et un réel.
Q 1. Montrer

Q 2. En déduire

Q 3. Déterminer la limite simple de la suite de fonctions .
Q 4. Étudier la continuité de .
Q 5. Montrer que et ont même loi pour tout .
Q 6. En déduire la limite simple de la suite de fonctions définies par

Q 7. La suite de fonctions converge-t-elle uniformément sur ?

Soit un entier naturel non nul. On pose

Q 8. Montrer que est bien définie en vérifiant .
Q 9. Préciser en fonction de .
Q 10. Montrer par récurrence

Q 11. En déduire que est bijective.
Q 12. Établir la monotonie au sens de l'inclusion de la suite puis vérifier .
Q 13. Établir

Q 14. Justifier

Q 15. Établir

Q 16. Soit . Justifier .
Q 17. Soit . Montrer que l'application

est bijective.
Q 18. Soient et avec . Montrer

Soit un espace probabilisé, une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre . On pose

Q 19. Justifier

Q 20. Montrer

Q 21. Montrer

Q 22. Établir, pour tout entier naturel non nul , que suit une loi uniforme sur .
Q 23. Réciproquement, soit un entier naturel non nul et soit une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur . Montrer qu'il existe des variables aléatoires mutuellement indépendantes, suivant chacune une loi de Bernoulli de paramètre , et telles que

On conserve les notations introduites dans la partie III.
Q 24. Soit réel. Établir la monotonie des suites et .
Q 25. En déduire la convergence simple des suites de fonctions et .
Q 26. Montrer

Q 27. Généraliser les résultats obtenus à la question précédente pour tout .
Q 28. Montrer que pour tout intervalle non vide , on a

Q 29. En déduire que, pour toute fonction continue de dans , la suite converge et préciser sa limite.

Q 30. À l'aide du résultat précédent, proposer une autre démonstration du résultat obtenu à la question 6 .
Q 31. Une application. Justifier l'existence de puis déterminer sa valeur.
On pourra considérer .

Q 32. L'ensemble est-il dénombrable ?
Q 33. On suppose qu'il existe bijective. En considérant , établir une contradiction.

Q 34. Montrer que l'application est bijective.
Q 35. Montrer que l'application

est bien définie et surjective. Est-elle injective ?
On note . On pose pour tout

Q 36. Montrer que réalise une bijection de sur .
Q 37. Conclure que n'est pas dénombrable.