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Centrale Mathématiques 2 MP 2018

Fonctions harmoniques, problèmes de Dirichlet.

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Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesSuites et séries de fonctionsSéries entières (et Fourier)Equations différentiellesTopologie/EVN
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2018
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Maths
Centrale MPCentrale 2018MP MathsMaths 2018
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Fonctions harmoniques et problème de Dirichlet

Ce problème étudie quelques propriétés des fonctions harmoniques ainsi que quelques exemples de telles fonctions (parties I et II). Dans la partie III, largement indépendante du reste du problème, on montre le principe du maximum faible pour le laplacien. Dans la partie IV, on établit un lien entre les fonctions harmoniques de deux variables et les fonctions développables en série entière, et on propose la résolution du problème de Dirichlet dans le disque unité de dans la partie .

Notations

  • Dans ce préambule et dans les parties I et III, désigne un entier strictement positif.
  • On munit de sa structure euclidienne canonique et désigne la norme euclidienne.
  • Si est une partie de , alors désigne son adhérence et sa frontière.
  • Pour et , on désigne par la boule ouverte de centre et de rayon pour la distance euclidienne. Autrement dit
La boule fermée de centre et de rayon est alors .
  • L'opérateur différentiel (appelé laplacien) est défini pour toute fonction à valeurs réelles de classe sur un ouvert par
  • Une fonction de classe à valeurs réelles sur un ouvert de est dite harmonique sur si
L'ensemble des fonctions harmoniques sur est noté .

I Fonctions harmoniques: quelques propriétés

Soit un ouvert non vide de . On note l'espace vectoriel des fonctions de classe de dans .
Q 1. Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
Q 2. Soit . Montrer que si est sur , alors toute dérivée partielle à tout ordre de appartient à .
Q 3. On suppose dans cette question que est connexe par arcs. Déterminer l'ensemble des fonctions de telles que appartienne aussi à .
Q 4. Donner une fonction non constante appartenant à . Le produit de deux fonctions harmoniques est-il une fonction harmonique?

II Exemples de fonctions harmoniques

II.A - On cherche dans cette question à déterminer les fonctions harmoniques non nulles sur à variables séparables, c'est-à-dire les fonctions s'écrivant sous la forme .
On se donne donc deux fonctions et , de classe sur , non identiquement nulles, et on pose
On suppose que est harmonique sur .
Q 5. Montrer qu'il existe une constante réelle telle que et soient solutions respectives des équations
Q 6. Donner en fonction du signe de la forme des fonctions harmoniques à variables séparables.
II.B - Soit une fonction réelle de classe sur . On pose, pour tout ,
Q 7. Justifier que est de classe sur .
Q 8. Pour tout , exprimer et en fonction de
Q 9. Exprimer également et en fonction des dérivées partielles premières et secondes de en
Q 10. Montrer que appartient à si et seulement si, pour tout ,
Q 11. Déterminer les fonctions harmoniques radiales de , c'est-à-dire les fonctions appartenant à telles que soit indépendante de .
Q 12. Soient et quatre réels tels que . Déterminer une fonction de classe sur telle que
II.C - Dans cette sous-partie II.C, on considère deux fonctions de classe et et on pose
La fonction est alors une fonction de classe sur , dite à variables polaires séparables.
Q 13. Montrer que, si n'est pas identiquement nulle, alors est -périodique.
Q 14. Montrer que, si est harmonique et non identiquement nulle sur , alors il existe un réel tel que soit solution de l'équation différentielle (II.1)
et soit solution de l'équation différentielle (II.2)
II.C.1) On suppose ici que .
Q 15. Quelles sont les solutions -périodiques de (II.2) ?
Q 16. Résoudre (II.1) sur .
Q 17. En déduire, dans le cas , les fonctions harmoniques à variables polaires séparables.
II.C.2) On suppose désormais .
Q 18. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que (II.2) admette des solutions -périodiques non nulles. Donner ces solutions.
Q 19. Résoudre (II.1) sur .
On pourra considérer, en justifiant son existence, une fonction de classe sur telle que, pour tout .
Q 20. Quelles sont les solutions se prolongeant par continuité en 0 ?

III Principe du maximum faible

Soit un ouvert borné non vide de et de classe .
Le but de cette partie est de montrer le théorème suivant, connu sous le nom de principe du maximum faible.
Si est une fonction continue sur , de classe et harmonique sur , alors
où désigne la frontière de .
III.A - Soit une fonction continue sur .
Q 21. Montrer que admet un maximum en un point .
On suppose de plus que est de classe sur et que, pour tout .
Q 22. Montrer que et en déduire que .
On pourra supposer par l'absurde que , justifier qu'il existe tel que , et considérer la fonction définie, pour réel, par , où désigne le -ème vecteur de la base canonique de .
III.B - Soit une fonction continue sur , de classe et harmonique sur .
Pour tout on pose .
Q 23. Montrer que est une fonction continue sur , de classe sur , et telle que .
Q 24. En déduire que .
Q 25. Soit et deux fonctions continues sur , de classe et harmoniques sur . Montrer que si les fonctions et sont égales sur , alors et sont égales sur .

IV Fonctions harmoniques et fonctions développables en série entière

On dit qu'une fonction , définie sur et à valeurs complexes, se développe en série entière sur s'il existe une suite complexe ( ) telle que
Dans toute cette partie, désigne une fonction se développant en série entière sur .
IV.A -
Q 26. Montrer que est de classe sur et que ses dérivées partielles se développent en série entière sur . Que peut-on en déduire pour la fonction ?
On note et les parties réelle et imaginaire de , de sorte que, quel que soit ,
Q 27. Montrer que et sont des fonctions harmoniques sur .
IV.B - On admet le résultat suivant : une fonction de dans se développe en série entière sur si et seulement si est de classe sur et pour tout .
Q 28. Montrer que si ne s'annule pas sur alors se développe en série entière sur .
Q 29. Montrer que la fonction est harmonique sur .
IV.C - Soit une fonction de dans . On suppose que est harmonique.
Q 30. Montrer que la fonction définie sur par
se développe en série entière sur .
Q 31. Montrer que si appartient à alors il existe une fonction se développant en série entière sur telle que est la partie réelle de .
On pourra considérer une série entière primitive de la série entière associée à la fonction de la question précédente.

IV.D -

Q 32. Montrer que pour tout , on a .
Q 33. Montrer un résultat analogue pour les fonctions harmoniques.
Q 34. Montrer que .
Q 35. Montrer un résultat analogue pour les fonctions harmoniques.
Q 36. Montrer que si admet un maximum en 0 , alors est constante sur .
Q 37. Montrer le théorème de d'Alembert-Gauss : tout polynôme complexe non constant admet au moins une racine.
On pourra procéder par l'absurde, supposer qu'il existe un polynôme ne s'annulant pas et considérer son inverse.

V Résolution du problème de Dirichlet dans le disque unité de

Soit une fonction de dans , continue et -périodique sur . On cherche à résoudre le problème de Dirichlet sur le disque unité ; autrement dit, il s'agit de déterminer, s'il y en a, la ou les fonctions définies et continues sur (disque fermé), de classe sur , et telles que
Pour cela, on pose, pour tout nombre complexe tel que ,
ùéé
Q 38. Montrer que la fonction est développable en série entière pour et calculer son développement en série entière. En déduire que la fonction est une fonction harmonique sur .
Q 39. Montrer que, pour tout nombre complexe tel que .
Q 40. Soit . Montrer que, pour tout nombre complexe tel que .
Q 41. Montrer que, pour tout et tous réels et ,
Q 42. Montrer que, pour tout et tout réel .
Q 43. En utilisant le théorème de Heine, montrer que, pour tout , il existe tel que, pour tout nombre réel et tout nombre complexe vérifiant ,
Q 44. Montrer l'existence et l'unicité de la solution au problème de Dirichlet étudié dans cette partie.
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