Centrale Mathématiques 2 MP 2017

Ce problème a pour objet la représentation de la loi d'une variable aléatoire comme loi d'une somme de variables aléatoires indépendantes.
On s'intéresse d'abord au cas d'une somme de deux variables à valeurs entières, puis au cas de variables aléatoires dont la loi est celle de la somme d'un nombre quelconque de variables indépendantes de même loi.

Toutes les variables aléatoires considérées dans ce problème sont discrètes. On note la loi d'une variable aléatoire .
Si et sont deux variables aléatoires définies sur les espaces probabilisés respectifs ( ) et ( ), la notation signifie que et ont même loi, c'est-à-dire .
Pour toute variable aléatoire à valeurs dans , on note sa fonction génératrice, définie, pour , par

lorsque la série converge.
On pourra si nécessaire utiliser librement le résultat suivant.
Si et si est une loi de probabilité sur un espace probabilisé , alors il existe des variables aléatoires , définies sur un espace probabilisé , mutuellement indépendantes et de loi .
Si et sont deux entiers tels que , on désigne par l'ensemble des entiers tels que .

Soit une variable aléatoire à valeurs dans . On appelle décomposition de toute relation de la forme où et sont deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans , définies sur un espace probabilisé pouvant être distinct de celui sur lequel est définie.
On dit que est décomposable si admet une décomposition où et ne sont pas constantes presque sûrement.

I.A.1) Soit et deux variables aléatoires à valeurs dans . Justifier que si et seulement si .
I.A.2) Soit une variable aléatoire à valeurs dans admettant une décomposition , où et sont des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans . Quelle relation lie et ?
I.A.3) Soit une variable aléatoire suivant la loi binomiale où et . Montrer que est décomposable si et seulement si .
I.A.4) Soit le polynôme : .
a) Soit et deux polynômes à coefficients réels positifs ou nuls tels que . Montrer que l'un des polynômes ou est constant.

On pourra distinguer les cas selon les valeurs des degrés de et .
b) En déduire qu'il existe une variable aléatoire décomposable telle que ne soit pas décomposable.

On pourra considérer le polynôme .

Dans cette sous-partie, est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et est une variable aléatoire à valeurs dans , définie sur un espace probabilisé ( ) et suivant la loi uniforme sur :

On suppose dans cette question que n'est pas premier : il existe des entiers et , supérieurs ou égaux à 2 , tels que .
a) Montrer qu'il existe un unique couple de variables aléatoires entières ( ) définies sur telles que

On pourra considérer une division euclidienne.
b) Préciser la loi de ( ), puis les lois de et de .
c) Montrer que est décomposable. En déduire une expression de comme produit de deux polynômes non constants que l'on précisera.

On suppose dans cette question que est un nombre premier et on établit que n'est pas décomposable.
a) Montrer qu'il suffit de prouver le résultat suivant : si et sont des polynômes de unitaires à coefficients dans tels que , alors l'un des deux polynômes ou est constant.
Dans ce qui suit, on fixe des polynômes et de unitaires à coefficients dans tels que

On pose et et on suppose par l'absurde que et sont non nuls.
b) Montrer que et .

On note alors et avec (quitte à échanger les rôles de et ).
c) Montrer que .
d) En déduire que et .
e) Conclure.

On pourra d'abord montrer que tous les coefficients de sont à valeurs dans .

Soit une variable aléatoire discrète à valeurs dans . On dit que est infiniment divisible si, pour tout , il existe des variables aléatoires réelles discrètes mutuellement indépendantes, de même loi, et vérifiant . Dans cette définition, l'espace probabilisé sur lequel sont définies les peut dépendre de .

II.A.1) On suppose que est constante égale à . Montrer que est infiniment divisible.

L'objectif de cette sous-partie est de montrer que toute variable aléatoire bornée infiniment divisible est presque sûrement constante.
Soit une variable aléatoire bornée infiniment divisible définie sur un espace probabilisé ( ). On note , de sorte que pour tout .
II.A.2) Soit et soit des variables aléatoires indépendantes et de même loi, et telles que ait même loi que .
a) Pour tout , montrer que presque sûrement, puis presque sûrement.
b) En déduire que , où désigne la variance de .
II.A.3) Conclure que est presque sûrement constante.

II.B.1) Une variable binomiale est-elle infiniment divisible ?
II.B.2) Soit un entier naturel non nul et soit des variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs .
Montrer que suit une loi de Poisson de paramètre .
II.B.3) Soit une variable aléatoire de Poisson. Montrer que est infiniment divisible.
II.B.4) Soit un entier naturel non nul et soit des variables aléatoires de Poisson mutuellement indépendantes. Montrer que est une variable aléatoire infiniment divisible.

II.C.1) Soit et deux variables aléatoires définies sur ( ) et à valeurs dans .
a) Montrer que si et sont des événements de , et si et sont leurs événements contraires respectifs, alors

b) En déduire que, pour tout .
II.C.2) Soit une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes à valeurs dans telle que la série des soit convergente.
a) Soit . Montrer que ( ) est une suite décroissante d'événements et que .
b) En déduire que l'ensemble est presque sûrement fini.
c) On pose et . Justifier que est définie presque sûrement. Montrer que converge uniformément vers sur .
II.C.3) Soit une suite de réels positifs ou nuls. On suppose que la série est convergente, et on note .
Soit une suite de variables aléatoires indépendantes telles que, pour tout suive une loi de Poisson de paramètre . On convient que, si est la variable aléatoire nulle.
a) Montrer que la série est convergente.
b) Montrer que la série est presque sûrement convergente et que sa somme (définie presque sûrement) suit une loi de Poisson de paramètre .
c) Montrer que la série est presque sûrement convergente et que sa somme définit une variable aléatoire infiniment divisible.

Dans cette sous-partie, est une variable aléatoire à valeurs dans telle que .
III.A.1) Montrer qu'il existe une unique suite réelle telle que, pour tout

III.A.2) Pour tout , montrer

III.A.3) Pour tout , montrer : .
III.A.4) Montrer que la série entière a un rayon de convergence supérieur ou égal à .

Pour tout réel de , on pose

À toute variable aléatoire à valeurs dans et telle que , on associe ainsi une série entière . Dans la suite du problème, sera appelée série entière auxiliaire de .
III.A.5) Pour , montrer , puis .
III.A.6) Soit et deux variables aléatoires indépendantes, définies sur l'espace et à valeurs dans , et soit et leurs séries entières auxiliaires. Montrer pour tout réel vérifiant .

Soit une variable aléatoire à valeurs dans telle que , et soit sa série entière auxiliaire :

On dira que est -positive si pour tout .
On suppose dans cette sous-partie que est -positive.
III.B.1) Pour tout , montrer que . En déduire que la série converge.
III.B.2) Montrer que, pour tout et que .
III.B.3) Soit ( ) la suite de variables aléatoires définie au II.C.3. Montrer que .

Soit une variable aléatoire infiniment divisible à valeurs dans et telle que .
Le but de cette sous-partie est de montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes.
(i) est infiniment divisible ;
(ii) est -positive ;
(iii) il existe une suite de variables de Poisson indépendantes, comme au II.C.3, telle que .

Dans les questions III.C. 1 à III.C.4, on suppose que est une variable aléatoire infiniment divisible à valeurs dans et telle que . Pour tout , il existe donc variables aléatoires indépendantes de même loi telles que la variable aléatoire suive la loi de .

a) Pour tout , montrer que est presque sûrement positive ou nulle.
b) Pour tout , montrer que .
c) Montrer que les variables aléatoires sont presque sûrement à valeurs dans .

a) Montrer .
b) En déduire que, pour tout .
III.C.3) Soit la série entière auxiliaire de , comme elle est définie à la question III.A.4, et soit son rayon de convergence.
Pour tout , soit la série entière auxiliaire de .
a) Pour tout , montrer .
b) En déduire, pour tous et dans

III.C.4) Pour tout , montrer que la suite converge vers . En déduire que est -positive.

a) Montrer le résultat annoncé au début de cette sous-partie III.C.
b) Comment adapter ce résultat aux variables aléatoires à valeurs dans ?
c) Soit une variable aléatoire suivant la loi géométrique , où :

La variable aléatoire est-elle infiniment divisible ?