Centrale Mathématiques 2 MP 2016

Le problème étudie quelques propriétés de variables aléatoires réelles finies de la forme , où les sont des réels et les sont des variables aléatoires mutuellement indépendantes à valeurs dans
La première partie établit des résultats sur des intégrales, utilisés dans les parties suivantes.
À partir de la deuxième partie, on suppose donnée une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes définies sur un espace probabilisé ( ), à valeurs dans et vérifiant

Pour , on pose

I.A.1) Montrer que est définie et continue sur et de classe sur .
I.A.2) Déterminer les limites de et en .
I.A.3) Exprimer sur à l'aide de fonctions usuelles et en déduire que

I.A.4) Montrer

I.A.5) Montrer

Dans cette section, on étudie la suite définie par

I.B.1) Justifier l'existence de la suite et préciser la monotonie de la sous-suite .
I.B.2) Montrer que .
I. Calcul d'un équivalent de
I.C.1) Montrer que

I.C.2) Montrer que

I.C.3) Montrer que la suite admet une limite finie vérifiant

I.C.4) On admet la relation .

Conclure que .

Dans cette partie, comme il est indiqué dans le préambule, on considère une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, à valeurs dans et telles que, pour tout ,

Pour tout , on pose .
L'espérance d'une variable aléatoire réelle finie est notée et sa variance .
II.A - Étude de
II.A.1) Déterminer l'espérance et la variance de .
II.A.2) Soit et deux variables aléatoires réelles finies indépendantes définies sur ( ). On suppose que et ont même loi.
Montrer que .
II.A.3) On considère la fonction de dans telle que pour tout réel .

Montrer que pour tout entier et tout réel .
II.A.4) Montrer, pour tout .

On utilisera l'expression intégrale de la valeur absolue obtenue à la question I.A.5.
II.A.5) Déduire de la question précédente que, pour tout .
II.B - Étude de

On se propose de démontrer que la suite converge presque sûrement vers 0 , c'est-à-dire qu'il existe un événement négligeable tel que

Pour tout , on pose

II.B.1) Montrer que pour tout .
II.B.2) Montrer que, pour tout .
II.B.3) Montrer que pour tout et que .
II.B.4) En considérant , montrer que converge presque sûrement vers 0 .

On conserve la suite de la partie précédente et on considère de plus une suite de réels positifs ou nuls. Pour tout , on pose .
III.A - Étude de
III.A.1) Montrer que la suite est croissante.
III.A.2) Montrer que si la série est convergente, alors la suite est convergente.
III.A.3) On suppose . Montrer .
III.B - Application à une suite d'intégrales

Pour , soit

III.B.1) Montrer que est une suite bien définie et qu'elle est croissante et convergente.

On posera et on exprimera l'espérance de avec la méthode de la question II.A.4.
III.B.2) Montrer que pour et que est strictement croissante.