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Centrale Mathématiques 2 MP 2015

Autour des sommes d'Euler

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Intégrales à paramètresCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesSuites et séries de fonctionsIntégrales généraliséesSéries et familles sommables
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2015
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MP
Matière
Maths
Centrale MPCentrale 2015MP MathsMaths 2015
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Autour des sommes d'Euler

Dans tout le problème, on note pour tout entier .
On note la fonction définie pour par .
Le but du problème est d'étudier des séries faisant intervenir la suite ( ) et notamment d'obtenir une relation due à Euler qui exprime, pour entier naturel supérieur ou égal à à l'aide de valeurs de la fonction en des points entiers.

I Représentation intégrale de sommes de séries

I.A -

I.A.1) Justifier que la série de terme général converge.
I.A.2) Montrer qu'il existe une constante réelle telle que . En déduire que .
I. - Soit un entier naturel.
Pour quelles valeurs de , la série est-elle convergente ?
Dans toute la suite on notera lorsque la série converge.

I. -

I.C.1) Donner sans démonstration les développements en série entière des fonctions et ainsi que leur rayon de convergence.
I.C.2) En déduire que la fonction
est développable en série entière sur et préciser son développement en série entière à l'aide des réels .
- Pour tout couple d'entiers naturels ( ) et pour tout , on note
I.D.1) Montrer que l'intégrale existe pour tout couple d'entiers naturels ( ).
I.D.2) Montrer que, .
I.D.3) En déduire que l'on a .
I.D.4) En déduire une expression de en fonction des entiers et .
I. - Soit un entier naturel non nul et une fonction développable en série entière sur .
On suppose que pour tout dans et que converge absolument.
Montrer que .
I.F -
I.F.1) Déduire des questions précédentes que pour tout entier ,
I.F.2) Établir que l'on a alors .
I.F.3) En déduire que puis trouver la valeur de en fonction de .

II La fonction

II.A - La fonction
II.A.1) Soit . Montrer que est intégrable sur .
Dans toute la suite, on notera la fonction définie sur .
On admettra que est de classe sur son ensemble de définition, à valeurs strictement positives et qu'elle vérifie, pour tout réel , la relation .
II.A.2) Soit et deux réels strictement positifs. Justifier l'existence de et donner sa valeur en fonction de et .

II.B - La fonction et son équation fonctionnelle

Pour dans , on définit .
II.B.1) Justifier l'existence de pour et .
II.B.2) Montrer que pour tous réels et .
II.B.3) Soient et . Établir que .
II.B.4) En déduire que pour .

II.C - Relation entre la fonction et la fonction

On veut montrer que pour et relation qui sera notée .
II.C.1) Expliquer pourquoi il suffit de montrer la relation ( ) pour et .
Dans toute la suite de cette question on suppose et .
II.C.2) Montrer que .
On pourra utiliser le changement de variable .
II.C.3) On note la primitive sur de qui s'annule en 0 . Montrer que
II.C.4) Soit .
Montrer que est définie et continue sur .
II.C.5) Montrer que .
II.C.6) Montrer que est de classe sur tout segment inclus dans , puis que est de classe sur .
II.C.7) Exprimer pour en fonction de et
II.C.8) Déduire de ce qui précède la relation .

III La fonction digamma

On définit la fonction (appelée fonction digamma) sur comme étant la dérivée de .
Pour tout réel .
III. - Montrer que pour tout réel .

III.B - Sens de variation de

III.B.1) À partir de la relation , justifier que est définie sur .
Établir que pour tous réels et .
III.B.2) Soit fixé. Quel est le sens de variation sur de la fonction ?
III.B.3) Montrer que la fonction est croissante sur .

III.C - Une expression de comme somme d'une série de fonctions

III.C.1) Montrer que pour tout réel et pour tout entier
III.C.2) Soit un entier et un réel . On pose , où désigne la partie entière de . Prouver que
III.C.3) En déduire que, pour tout réel ,

III.D - Un développement en série entière

On note la fonction définie sur par
III.D.1) Montrer que est de classe sur .
Préciser notamment la valeur de en fonction de pour tout entier .
III.D.2) Montrer que pour tout entier et pour tout dans
Montrer que est développable en série entière sur .
III.D.3) Prouver que pour tout dans ,

IV Une expression de en fonction de valeurs entières de

Dans cette partie, on note la fonction définie sur par .

IV.A - Une relation entre et

Justifier que est définie sur .
À l'aide de la relation trouvée au III.B. 1 établir que pour tout réel
En déduire que est sur .

IV.B - Expression de à l'aide de la fonction

IV.B.1) Montrer que pour tout réel .
IV.B.2) Donner sans justification une expression, à l'aide d'une intégrale, de , pour tout entier naturel et tout réel .
IV.B.3) En déduire que pour tout entier .
IV.B.4) Retrouver alors la valeur de déjà calculée au I.F.3.
IV.C - Soit la fonction définie .
IV.C.1) Montrer que est sur son ensemble de définition et donner pour tout entier naturel la valeur de en fonction des dérivées successives de au point 1 .
IV.C.2) Conclure que, pour tout entier ,
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