Les polynômes de Tchebychev de première espèce sont définis par la relation

On ne demande pas de justifier l'existence et l'unicité de la famille de polynômes définie par cette relation.

I.A.1) Déterminer et .
I.A.2) En remarquant que pour tout réel , on a , montrer que

Écrire en langage Maple ou Mathematica une fonction prenant en argument un entier naturel et renvoyant l'expression développée du polynôme .
I.A.3) Montrer que la suite vérifie la relation de récurrence

En déduire, pour tout entier naturel , le degré et le coefficient dominant de . Retrouver ce résultat avec l'expression de la question I.A.2.
I.A.4) Montrer que, pour tout entier naturel , le polynôme est scindé sur , à racines simples appartenant à . Déterminer les racines de .

On définit les polynômes de Tchebychev de deuxième espèce par

I.B.1) Montrer que

I.B.2) En déduire les propriétés suivantes :
a) La suite vérifie la même relation de récurrence (I.1) que la suite .
b) Pour tout entier naturel , le polynôme est scindé sur à racines simples appartenant à . Déterminer les racines de .

II.A.1) Montrer que

II.A.2) Pour et entiers naturels tels que , on se propose de déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de par .
a) On suppose . Montrer que

b) Déterminer et lorsque est de la forme ( )m avec .
c) On suppose que et que n'est pas le produit de par un entier impair. Montrer qu'il existe un unique entier tel que et que

Dans toute cette sous-partie II.B, on fixe deux entiers naturels et .
II.B.1) Soit le dans de et . En examinant les racines communes à et , montrer que est un pgcd dans de et .
II.B.2) Soit le de et . On pose et .
a) Montrer que si et sont impairs, alors est un de et .
b) Montrer que si l'un des deux entiers ou est pair, alors et sont premiers entre eux.
c) Que peut-on dire des de et lorsque et sont impairs? Lorsque et sont deux puissances de 2 distinctes ?

Dans cette partie, on munit l'ensemble des polynômes complexes de la loi de composition interne associative donnée par la composition, notée o. Plus précisément, étant donné , si , la suite étant nulle à partir d'un certain rang, on a

On dit que les polynômes et commutent si . On note l'ensemble des polynômes complexes qui commutent avec le polynôme

On cherche dans cette partie les familles de polynômes complexes vérifiant

Il est clair que la famille convient.
On note l'ensemble des polynômes complexes de degré 1 , et pour , on pose .

III.A.1) Montrer que la famille vérifie la propriété (III.1). On pourra comparer et .
III.A.2) Vérifier que est un groupe pour la loi o.

L'inverse pour la loi o d'un élément de sera noté .

III.B.1) Soit et soit un polynôme complexe non constant qui commute avec . Montrer que est unitaire.
III.B.2) En déduire que, pour tout entier , il existe au plus un polynôme de degré qui commute avec . Déterminer .
III.B.3) Soit un polynôme complexe de degré 2 . Justifier l'existence et l'unicité de et tels que . Déterminer ces deux éléments lorsque .
III.B.4) Justifier que .

III.C.1) Montrer que les seuls complexes tels que contienne un polynôme de degré trois sont 0 et -2 .
III.C.2) En déduire le théorème de Block et Thielmann : si vérifie (III.1), alors il existe tel que

Dans toute cette partie, on note l'ensemble des éléments inversibles de l'anneau , muni de son addition et de sa multiplication usuelle.
IV.A - Justifier qu'un élément de appartient à si et seulement si .
et , définis sous la forme de fonctions polynomiales de deux variables par

puis, pour tout entier ,

Justifier la relation suivante avec les polynômes de Tchebychev

ainsi que les deux relations suivantes, valables pour tout entier naturel et tout

IV.C - Dans cette sous-partie, on cherche une condition nécessaire et suffisante pour qu'un élément de soit une puissance -ième dans , c'est-à-dire pour qu'il existe une matrice telle que . Dans toute la suite, on notera

IV.C.1) Soit . On note, dans cette question uniquement, et . Montrer pour tout , l'égalité

où est la matrice identité d'ordre 2.
Établir que .
IV.C.2) En déduire que si est une puissance -ième ( ) dans , alors il existe et tels que
i. divise et . On justifiera brièvement que est bien un entier.
ii. et .
IV.C.3) On va maintenant établir la réciproque.

Soit un élément de pour lequel il existe et vérifiant les deux conditions précédentes i et ii. Pour simplifier, on note . On définit alors une matrice avec

a) En introduisant une racine complexe du polynôme et à l'aide de (IV.1), montrer que

En déduire que appartient à .
b) Montrer que .
IV.C.4) Montrer que la matrice est un cube dans et déterminer une matrice telle que .