Centrale Mathématiques 2 MP 2013

Dans tout le problème, désigne un entier naturel non nul.
On note:

Pour toute matrice de , on note sa matrice transposée, sa trace, et, pour , le coefficient qui se trouve à l'intersection de la -ème ligne et de la -ème colonne. On munit de la norme définie, pour tout , par .

- On munit de sa structure euclidienne canonique.
I.A.1) Soit un endomorphisme de . Montrer que est autoadjoint défini positif si et seulement si sa matrice dans n'importe quelle base orthonormée appartient à .
I.A.2) Montrer que si , alors est inversible et .
- Dans cette question, désigne un endomorphisme de autoadjoint défini positif. On se propose de démontrer qu'il existe un unique endomorphisme de autoadjoint, défini positif, tel que .
I.B.1) Soit un endomorphisme de , autoadjoint défini positif et vérifiant , et soit une valeur propre de . Montrer que induit un endomorphisme de que l'on déterminera.
I.B.2) En déduire , puis conclure.
I.B.3) Montrer qu'il existe un polynôme à coefficients réels tel que .
- Soit .
I.C.1) Montrer que .
I.C.2) En déduire qu'il existe un unique couple tel que .
I.C.3) Déterminer les matrices et lorsque .

I.D.1) Montrer que est une partie compacte de .
I.D.2) Montrer que est un fermé de .
I.D.3) Montrer que est une partie dense de .
I.D.4) Soit . Montrer qu'il existe un couple tel que . Un tel couple est-il unique ?
I.E - Soit l'application de dans définie par pour tout couple de .
Montrer que est bijective, continue et que sa réciproque est continue.

Dans cette partie, et désignent deux matrices de . On suppose qu'il existe une matrice carrée de taille , inversible, à coefficients complexes, telle que et , où désigne la matrice dont les coefficients sont les conjugués de ceux de .
II.A.1) Justifier que .
II.A.2) On se propose de montrer qu'il existe une matrice telle que et . Pour cela, on note et les matrices de telles que .
a) Montrer qu'il existe tel que .
b) Montrer que et .
c) Conclure.
II.A.3) On écrit sous la forme , avec et .
a) Montrer que , puis que .
b) En déduire qu'il existe tel que .

Soit . On se propose de donner une condition nécessaire et suffisante d'existence d'une solution au système

II.B.1) Montrer que si le système () admet une solution dans , alors les valeurs propres de appartiennent à l'intervalle .
II.B.2) On suppose dans cette question que les valeurs propres de appartiennent à l'intervalle .
a) Justifier que l'on peut chercher les solutions de () sous la forme , avec et .
b) Déterminer .
c) Montrer l'existence d'une solution de (*) appartenant à .

Pour , on pose

On note le polynôme tel que, pour tout réel .
III. - Montrer qu'à fixé, la suite vérifie une relation linéaire d'ordre 2, que l'on précisera.
III. B - Soit tel que . Après avoir justifié l'existence d'un unique tel que , déterminer en fonction de et de .
III. - Déterminer les valeurs propres de .
III. - Montrer que est diagonalisable, et en déterminer une base de vecteurs propres, en précisant pour chacun la valeur propre associée.

Soit une forme linéaire sur .
IV.A - Montrer qu'il existe une unique matrice telle que . Dans la suite, désigne la matrice définie dans cette question IV.A.

IV.B.1) Justifier l'existence de .
IV.B.2) Justifier que admet valeurs propres positives , comptées avec multiplicités.
IV.B.3) Montrer que , où est la matrice diagonale, dont les éléments diagonaux sont .
IV.B.4) En déduire que .
IV.C - Dans cette question, désigne la forme linéaire définie par .
IV.C.1) Déterminer la matrice telle que .
IV.C.2) Montrer que

IV.C.3) Déterminer les valeurs propres de .
IV.C.4) Montrer que .
IV.C.5) Donner un équivalent de lorsque tend vers .