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Centrale Mathématiques 2 MP 2012

Suites récurentes linéaires et matrices de Hankel

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Algèbre linéaireRéductionFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Algèbre générale
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Centrale
Année
2012
Filière
MP
Matière
Maths
Centrale MPCentrale 2012MP MathsMaths 2012
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Ce sujet est divisé en trois parties. La partie III est indépendante des deux premières (même si les parties II et III ont en commun de s'intéresser à des matrices dites de Hankel).
Il est attendu des candidat(e)s qu'ils fassent preuve de qualités de rédaction, de clarté et de présentation.

Notations

Dans tout le problème, désigne indifféremment ou .
On note l'espace vectoriel des suites à valeurs dans .
Pour tout espace vectoriel sur , on note l'algèbre des endomorphismes de .
On note l'élément de qui à tout de associe dans de terme général .
On note l'algèbre des polynômes à coefficients dans , et le sous-espace vectoriel de formé des polynômes de degré inférieur ou égal à .
On rappelle qu'un polynôme non nul est dit unitaire si le coefficient de son monôme de plus haut degré vaut 1 .
On note l'algèbre des matrices carrées d'ordre à coefficients dans .
Si est une matrice carrée, on note sa transposée et sa trace.
On note l'ensemble des matrices carrées symétriques d'ordre à coefficients réels.

Rappels sur les polynômes d'endomorphisme

On effectue ici quelques rappels utiles sur les polynômes d'endomorphisme d'un espace vectoriel.
Soit un espace vectoriel sur . On note Id l'endomorphisme identité de .
Pour tout de , et tout de , on note (avec la convention ).
Pour tout de , l'application est alors un morphisme d'algèbres de dans .
Rappelons que cela signifie que, pour tous de et pour tous scalaires de , on a :
  • si , alors ;
    .
    Cas particulier (utile dans la suite du problème) :
  • Si et , alors .
  • Pour tout de est donc la suite de terme général .

I Suites récurrentes linéaires

Soit un entier naturel.
On dit qu'un élément de est une suite récurrente linéaire (en abrégé une SRL) d'ordre s'il existe un polynôme dans de degré , tel que soit la suite nulle, c'est-à-dire si :
On dit que la relation I. 1 (dans laquelle, rappelons-le, est non nul) est une relation de récurrence linéaire d'ordre , dont est un polynôme caractéristique.
L'ensemble des suites de qui obéissent à I. 1 est noté .
On note l'ensemble de toutes les suites récurrentes linéaires, quel que soit leur ordre (autrement dit, est la réunion des pour tous les polynômes non nuls dans ).

I.A - Ordre (et polynôme) minimal d'une suite récurrente linéaire

Soit une suite récurrente linéaire.
Montrer que l'ensemble des polynômes tels que est un idéal de , non réduit à .
On rappelle qu'il en résulte deux choses :
  • d'une part, il existe dans un unique polynôme unitaire de degré minimal ;
  • d'autre part, les éléments de sont les multiples de .
Par définition, on dit que est le polynôme minimal de la suite , que le degré de est l'ordre minimal de , et que la relation est la relation de récurrence minimale de .

I.B - Quelques exemples

I.B.1) Dans , quelles sont les suites récurrentes linéaires d'ordre 0 ? d'ordre 1 ?
Quelles sont les suites de dont le polynôme minimal est ?
I.B.2) On considère la suite définie par et par la relation de récurrence linéaire d'ordre .
Déterminer le polynôme minimal (et donc l'ordre minimal) de la suite .

I.C - L'espace vectoriel et deux cas particuliers

Soit un élément de , de degré , que sans perdre de généralité on suppose unitaire.
I.C.1) Prouver que est un sous-espace vectoriel de dimension de et qu'il est stable par (on ne demande pas ici de déterminer une base de , car c'est l'objet des questions suivantes).
I.C.2) Déterminer quand (avec ) et en donner une base.
I.C.3) Dans cette question, on suppose et , avec dans .
On note l'ensemble des de de terme général , où est dans .
a) Montrer que est un sous-espace vectoriel de dont on précisera la dimension.
b) Montrer l'égalité .

I.D - Étude de quand est scindé sur

Dans cette question, on suppose que le polynôme est scindé sur .
Plus précisément, on note , où :
  • les scalaires sont les racines non nulles distinctes éventuelles de dans , et sont leurs multiplicités respectives (supérieures ou égales à 1). Si n'a pas de racine non nulle, on convient que et que ;
  • l'entier est la multiplicité de 0 comme racine éventuelle de . Si 0 n'est pas racine de , on adopte la convention .
    Avec ces notations, on a .
    En utilisant le théorème de décomposition des noyaux, montrer que est l'ensemble des suites de telles que:
où, pour tout de est dans avec .
Remarque : si , la somme est par convention égale à 0 .

II Matrices de Hankel associées à une suite récurrente linéaire

Soit dans . Pour tout entier de , on note la matrice de définie par
On a par exemple et .
On identifie toute matrice de avec l'endomorphisme de qui lui est associé dans la base canonique. On identifie de même tout élément de avec la matrice-colonne qui lui correspond.

II.A - Calcul du rang de quand est une suite récurrente linéaire

Dans cette section, est une suite récurrente linéaire d'ordre minimal et de polynôme minimal .
II.A.1) Montrer que la famille est une base de .
En déduire, pour tout de , le rang de la famille .
II.A.2) Montrer que si , l'application est injective.
En déduire que si , alors .
Remarque : il est clair que ce résultat reste vrai si (car la suite et les matrices sont nulles).

II.B - Détermination de la récurrence minimale d'une suite récurrente linéaire

Soit une suite récurrente linéaire non nulle, d'ordre . Soit .
II.B.1) Montrer que est d'ordre minimal et que le noyau de est une droite vectorielle dont un vecteur directeur peut s'écrire , où sont dans .
II.B.2) Avec ces notations, montrer que le polynôme minimal de est .

II.C - Étude d'un exemple

Dans cette question, on considère la suite définie par
II.C.1) Dans le langage informatique de votre choix (que vous préciserez), écrire une procédure (ou fonction) de paramètre un entier naturel et renvoyant la liste (ou la séquence, ou le vecteur) des pour .
II.C.2) Préciser le rang de pour tout entier de et indiquer l'ordre minimal de la suite .
II.C.3) Déterminer la relation de récurrence minimale de la suite .
II.C.4) Donner une formule permettant pour tout de calculer directement .
II.C.5) On décide de modifier uniquement la valeur de , en posant cette fois .
Avec cette modification, reprendre rapidement l'étude des questions II.C. 2 et II.C.3.

III Valeurs propres des matrices de Hankel réelles

Dans toute cette partie, désigne un entier supérieur ou égal à 3 .
On note la partie entière de .
On a donc si est pair, et si est impair.
est muni de sa structure euclidienne canonique dont le produit scalaire est noté et la norme associée est notée .
Un élément de de est dit ordonné s'il vérifie si .
On dit qu'une matrice de est une matrice de Hankel s'il existe tel que pour tous et de . Une telle matrice est notée .

III.A - Préliminaires

III.A.1) Montrer que si est une matrice de Hankel de taille alors elle admet valeurs propres réelles (chacune étant répétée autant de fois que sa multiplicité) que l'on peut classer dans l'ordre décroissant .
On note alors le spectre ordonné de la matrice , c'est-à-dire le -uplet ordonné des valeurs propres de .
On s'intéresse au problème suivant : à quelles conditions un -uplet ordonné de réels peut-il être le -uplet ordonné des valeurs propres d'une matrice de Hankel de taille ?
III.A.2) Montrer que si alors le -uplet ( ) n'est pas le -uplet ordonné des valeurs propres d'une matrice de Hankel de taille .

III.B - Une première condition nécessaire

Soit un élément de et . On note .
On définit deux vecteurs et de par
On pose enfin .
III.B.1) Montrer que
III.B.2) Montrer que et .
III.B.3) Montrer que et en déduire l'inégalité :
III.B.4) Vérifier que si , la condition III. 1 équivaut à : .

III.C - D'autres conditions nécessaires

Dans cette partie, on admet le résultat suivant : si et sont deux matrices de dont les valeurs propres respectives (avec répétitions éventuelles) sont et alors
Soit la matrice de définie par
tous les autres coefficients de étant nuls (on rappelle que désigne la partie entière de ).
III.C.1) Déterminer le spectre ordonné de la matrice .
III.C.2) Soit un élément de et .
On note .
Établir que

III.D - Cas

Soient trois réels vérifiant
On définit la matrice de Hankel , où sont réels.
III.D.1) Calculer les valeurs propres de (sans chercher à les ordonner).
III.D.2) Expliciter (avec ) en fonction de , de telle sorte que .
III.D.3) Que peut-on déduire du résultat précédent, quant à la condition III. 3 dans le cas ?
En utilisant un triplet ordonné ( ), montrer que pour , la condition III. 1 n'est pas suffisante.
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