Centrale Mathématiques 2 MP 2006

On note l'algèbre des polynômes à une indéterminée à coefficients réels et, de manière usuelle, tout polynôme est identifié à sa fonction polynôme associée.
Pour tout entier naturel est l'espace vectoriel réel des polynômes de degré inférieur ou égal à .
Pour un de , on considère, de manière usuelle, les dérivées successives de , et, pour tout de .
Pour un polynôme de , un entier naturel et un réel , on définit le polynôme de Taylor d'ordre de en par :

Soit une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle de et de classe . On rappelle qu'elle admet, en tout point de cet intervalle, un unique développement limité à l'ordre :

La fonction polynôme

est appelée partie régulière de ce développement limité.
Dans la troisième partie, on note le plan affine euclidien usuel muni d'un repère orthonormé et dans la dernière partie, on note l'espace affine euclidien usuel de dimension 3 muni d'un repère orthonormé, encore noté .
Les éléments de et seront indifféremment appelés vecteurs ou points selon l'interprétation que l'on en a.

Si est barycentre du système pondéré avec non nul,
on a :

Chaque point de (ou de ) est identifié à la famille de ses coordonnées (ou ) dans le repère , ce qui est contenu dans la notation (ou ). De même chaque vecteur est identifié à la famille de ses coordonnées dans la base du repère .
Dans la première partie, on étudie une famille de polynômes.
Ces polynômes interviennent ensuite dans les trois parties qui suivent dans trois situations différentes.
Si la troisième partie utilise un résultat de la deuxième, pour le reste les trois dernières parties sont indépendantes les unes des autres.

Un calcul simple qui n'est pas demandé ici (intégrations par parties successives par exemple) donne pour tout de :

Pour tout entier naturel non nul, on considère la fonction polynomiale définie sur par:

I.A.1) Donner une expression développée de pour et pour .
I.A.2) Calculer pour tout de . Préciser .

On vérifie que est à coefficients entiers. Nous l'admettrons.

I.B.1) Étudier suivant l'existence ainsi que l'ordre de multiplicité des éventuelles racines de et de dans l'intervalle [0,1].
I.B.2) En considérant le signe de , étudier la monotonie de l'application

I.B.3) Donner une allure de la courbe représentative de sur [0,1]. On précisera les points à tangente horizontale, on montrera l'existence d'un centre de symétrie et on précisera la convexité.
I.C - Les résultats de cette question seront utilisés dans la dernière partie.
I.C.1) Résoudre le système :

I.C.2) Résoudre le système :

I.C.3) Résoudre le système :

Dans cette partie, est un entier naturel non nul et est un entier tel que 。

On rappelle et on admet que, pour tout de , la famille est une base de .
Vérifier que l'application définit un projecteur de .
Préciser son image, vérifier que son noyau est un idéal de et en donner un générateur.
II.B - Pour de , déterminer les polynômes de Taylor d'ordre en 0 et en 1 du polynôme :

II.C - Pour de , on note respectivement et ses polynômes de Taylor d'ordre en 0 et en 1 et on pose:

II.C.1) Montrer que l'application [ ] est un projecteur de .
II.C.2) Préciser les dimensions des sous-espaces propres de cette application et donner pour chacun une base.

III.A.1)

À l'aide de la première partie, déterminer un polynôme tel que :

Existe-t-il d'autres polynômes remplissant ces cinq conditions?
III.A.2) Déterminer de même, sans en donner la forme développée, un polynôme tel que :

III.B - Soient de classe sur , paramétrage d'un et de classe sur [ [, paramétrage d'un arc . Si est la partie régulière du développement limité à l'ordre 1 de en -1 et la partie régulière du développement limité à l'ordre 1 de en 1 , on pose:

De même, si est la partie régulière du développement limité à l'ordre 1 de en -1 et si est la partie régulière du développement limité à l'ordre 1 de en 1, on pose:

On obtient ainsi une fonction vectorielle et on considère , raccord de et , l'arc paramétré par avec :

Montrer brièvement en s'appuyant sur une étude faite dans la deuxième partie que est de classe sur .

Ici est un réel strictement positif et on prend:

III.C.1) Représenter sur un même dessin les arcs et .
III.C.2) Donner l'expression développée de la fonction (on ne demande pas sa représentation graphique).
III.C.3) Montrer que pour , le raccord coupe l'axe des ordonnées en deux points distincts que l'on précisera.

On note .
On considère un ensemble de quatre points de non coplanaires, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de plan affine qui les contienne tous les quatre. On a ainsi un tétraèdre non aplati .
On note le triplet des coordonnées du point pour .

IV.A.1) Soit dans . Justifier l'existence d'un ( ) de avec tel que si l'on pose pour de ,

(où de manière usuelle, vaut 1 si et vaut 0 sinon).
On admet l'unicité du quadruplet ( ) pour tout dans .
IV.A.2) Pour dans on considère la forme linéaire de définie par:

Quel est le rang de la famille ?

Soit .
Pour tout dans et tout de , on pose : .
On considère alors :
et .
On appelle l'isobarycentre de .
On note

IV.B.1) Préciser pour dans et en déduire .
IV.B.2) Vérifier que tout point de est le barycentre du système pondéré .
IV.B.3) Déterminer de tel que pour tout point de toute arête [ ] avec on ait .

IV.C.1) Montrer que est un compact de .
IV.C.2) Montrer que sur chaque face du tétraèdre, admet un maximum et un minimum. On précisera la valeur de ces extremums, ainsi que les points où ils sont atteints.

On pourra partir du fait que le compact triangulaire limité par trois points non alignés d'un plan est l'ensemble des barycentres à poids positifs des sommets du triangle et que l'on peut toujours supposer que la somme des poids est égal à 1 .
IV.C.3) Calculer et déterminer la différentielle de en .
IV.C.4) Déterminer les points de en lesquels la différentielle de est nulle.

On pourra montrer que la nullité de la différentielle de en un point implique une relation linéaire portant sur les et on utilisera dans ce cas le résultat de IV.A.2 .
IV.C.5) Montrer que la fonction admet sur un maximum et un minimum et déterminer ces extremums et de sur ainsi que les points où ils sont atteints.
IV.D - On prend et .

Pour , on obtient, après un calcul qui n'est pas demandé :

On appelle la surface d'équation .
On considère la boule fermée de centre et de rayon pour la norme euclidienne sur et l'on note sa frontière, la sphère de centre et de rayon .
On admet que pour tout point de , on a . (Ceci peut se démontrer en utilisant les coordonnées sphériques de ).
IV.D.1) Déterminer les points non réguliers de .
IV.D.2) Montrer que pour tout de , il existe un et un seul point du segment qui appartienne à .
On pourra étudier la fonction sur .
IV.D.3) Qu'en déduit-on pour l'intersection de avec ? On précisera les points de contact de cette intersection avec le tétraèdre ainsi qu'avec la sphère .
IV.D.4) Préciser les sections de et de par le plan médiateur de , d'équation . Les représenter sur une même figure.
IV.D.5) Décrire l'animation que donne la vue des surfaces de niveau:
lorsque varie de à .
On précisera la position de ces surfaces par rapport au tétraèdre.